4. 考虑有空气阻力影响的情况
这里只考虑水平方向的阻力，不考虑垂直方向的阻力，因为投篮时对球运动的阻力主要体现在水平方向上。通常水平方向的阻力与速度成正比，如果设比例系数为k, 则篮球在水平方向上的运动可以由如下微分方程描述：
?d2xdx??k?02dt??dtx(0)?0??dx?vcos??dt??t?0
这是常系数线性微分方程，用高等数学中的特征方程法可以求出它的解
1?e?ktx(t)?vcos?k
于是得到如下球的运动参数方程：
?1?e?kt?x(t)?vcos??k??gt2?y(t)?vsin??t?2?
注意到通常罚球时阻力并不大（阻力系数一般不超过0.05秒-1），而罚球后球的运动时间也很短（大约1秒左右），因此，我们可以把运动方程（16）中的e –kt在t=0处做泰勒展开并略去t的二次幂以上的项，就可以得到更为简洁的运动方程
?kvcos??t2?x(t)?vcos??t??2??gt2?y(t)?vsin??t?2?
将此式与式（1）相比，可以看到阻力对x(t)的影响因子为(1-kt/2),因为
k=0.05,t?1，因此有阻力对命中率的影响约为0.05/2?3%。此外，如果不考虑篮球和篮框的大小，就有球心命中框心的条件为
?kvcos??t2?vcos??t??L?0?2??gt2?vsin??t?2?H?h?0?
9
5.计算结果与分析
5．1 以出手点高h0=2.9m为例,篮球运动员投空心篮时,利用公式(26),可以求得在不同的落球点的相应出手角度范围如下：
投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表 x 8．25 6．25 5．25 4．25 3 2 45.50?～45.67?～45.71? 45.80?～45.85? 45.97?～46.60? 46.34?～46.50? 46.34?～47.40? ? 45.54?
5．2 以出手点高为h0=2.5m,运动员投空心篮时,可以利用公式(26)在不同的落球点的相应出手角度范围如下:
投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表 x 8．25 6．25 5．25 4．25 3 2 46.85?～47.44?～47.50? 47.88?～48.10? 48.52?～48.87? 48.88?～50.56? 52.01?～53.50? ? 46.95?
因此，从表中可以看出，当投篮的出手点高h0=2.5m，在罚线线投球的最佳出手角度是49?，这与现实中的投篮结果差异很小⑺。
对问题二的求解：
1．针对在限制区边线上距篮框中心90度（罚球线）位置上的投篮
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现在假设与篮球板背面的那边也有一个“篮框”，这时根据假设，补出篮板背面的部分，篮球运动的曲线也构成一条抛物线，这种情况考虑为这条抛物线也通过篮板后面的那个篮框。但这时球员要正确估计球出手点到虚拟篮框圈心的水平距离，这时投篮的情况转化为投空心篮的情况给予考虑，（原计算机程序如附录），如图4：
y
s0变为
s0+0.750，
图4 ?
o x 2．针对在限制区边线上距篮框中心30度（罚球线）位置上的投篮
同样假设与篮球板背面的那边也有一个“篮框”，这时根据假设，补出篮板
背面的部分，篮球运动的曲线也构成一条抛物线，这种情况考虑为这条抛物线也通过篮板后面的那个篮框。 但这时球员要正确估计球出手点到虚拟篮框圈心的距离，这时投篮的情况转化为投空心篮的情况给予考虑，（原s0变为S1）
如图所示，A为篮框中心正下面，B，C，D为限制区边线，E为人所站的在限制区
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图5 边线上距篮框中心30度的位置。 先求出AE的长度，再进而算出S1。 在如图所示中，
有Rt⊿CHE～Rt⊿CGB， CHEH∴ ?CGBG又BG=L-R，CG=S0， 设AE=S，
则EH=SCOS300-R，
0S（0S*cos30?R）∴求得CH=
L-R0S（S*cos30?R）又CH+AF=S0，即0+S*sin300=S0
L-RB G A E F H C D ∴解得 S?S0R?S0(L?R) S0cos300?(L?R)sin300M 又在图中， 由余弦定理得
2S2?0.752?S1cos120?，
0.15S02?S2?0.752?0.15S*cos1200 即S1A E 从而可解得
S1?(S0R?S0(L?R)S0R?S0(L?R)202 )?1.5**cos120?0.750000S0cos30?(L?R)sin30S0cos30?(L?R)sin30
3．针对在限制区边线上距篮框中心45度（罚球线）位置上的投篮
同样假设与篮球板背面的那边也有一个“篮框”，这时根据假设，补出篮板背面的部分，篮球运动的曲线也构成一条抛物线，这种情况考虑为这条抛物线也通过篮板后面的那个篮框。 但这时球员要正确估计球出手点到虚拟篮框圈心的距离，这时投篮的情况转化为投空心篮的情况给予考虑，（原s0变为S2）
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