2017年新课标全国卷2高考理科数学试题及答案

????????由已知得BA?AD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如

图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

1，0)，P(0，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，3)，

????????PC?(1，0，?3),AB?(1，0，0)则

??????????BM?(x?1，y，z),PM?(x，y?1，z?3)

0，1)是底面ABCD的法向量，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n?(0，所

以

?????cosBM,n?sin450，z(x?1)2?y2?z2?2 2即（x-1）2+y2-z2=0

?????????又M在棱PC上，设PM??PC,则

x??,y?1,z?3?3?

??2?x=1+?x=1-2????y=1(舍去)，??y=1由①，②得???z??6?z???2??

2262

???????26?26?所以M?1-,1，?，从而AM??1-,1，?

??22?22?????设m=?x0,y0,z0?是平面ABM的法向量，则

????????m?AM?0?2-2x0?2y0?即?????????m?AB?0?x0?0??6z0?0

所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n?10 5m?n?mn10 5因此二面角M-AB-D的余弦值为20.解

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?????????（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, NP??x?x0,y?,NM??0,y0?

?????????2NM得x0=x,y0?由NP?2y 2x2y2因为M（x0,y0）在C上，所以??1

22因此点P的轨迹方程为x2?y2?2

（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则

????????????????OQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQ?PF?3?3m?tn， ????????OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?,

????????由OP?PQ?1得-3m?m2?tn?n2?1，又由（1）知m2+n2=2，故

3+3m-tn=0

????????????????所以OQ?PF?0，即OQ?PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于

OQ的直线l过C的左焦点F. 21.解：

（1）f?x?的定义域为?0，+??

设g?x?=ax-a-lnx，则f?x?=xg?x?,f?x??0等价于g?x??0 因为g?1?=0，g?x??0,故g'?1?=0,而g'?x??a?若a=1，则g'?x?=1?1,g'?1?=a?1,得a?1 x1.当0＜x＜1时，g'?x?＜0,g?x?单调递减；当x＞1时，g'?x?＞0，xg?x?单调递增.所以x=1是g?x?的极小值点，故g?x??g?1?=0

综上，a=1

（2）由（1）知f?x??x2?x?xlnx,f'(x)?2x?2?lnx 设h?x??2x?2?lnx,则h'(x)?2???1?2??1?21x

????1?2?当x??0,?时，h'?x?＜0；当x??,+??时，h'?x?＞0，所以h?x?在?0,?单调递减，在?,+??单调递增

??1?2?又he?2＞0,h??＜0,h?1??0，所以h?x?在?0,?有唯一零点x0，在?,+??有唯一零

??

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???1??2??1?2??1?2?点1，且当x??0,x0?时，当x??x0,1?时，当x??1,+??时，h?x?＞0；h?x?＜0，h?x?＞0. 因为f'?x??h?x?，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由f'?x0??0得lnx0?2(x0?1),故f?x0?=x0(1?x0) 由x0??0,1?得f'?x0?＜1 4因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e?1??0,1?,f'e?1?0得

??f?x0?＞fe?1?e?2

所以e?2＜f?x0?＜2-2 22.解：

（1）设P的极坐标为

????，????＞0?，M的极坐标为??，????＞0?，由题设知

11OP=?，OM=?1=4 cos?由OM?OP=16得C2的极坐标方程?=4cos?因此C2的直角坐标方程为x?2（2）设点B的极坐标为

B??＞0?

??2?y2?4?x?0?

B??，????＞0?,由题设知

OA=2，?B=4cos?,于是△OAB面积

S=1OA??B?sin?AOB2????4cos??sin????3?????3?2sin?2????3?2??2?当?=-

3?12时，S取得最大值2+3 所以△OAB面积的最大值为2+3 23.解： （1）

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?a?b??a5?b5??a?ab?ab?b??a?b??2ab?ab?a?4?ab?a?b?6556332332224?b4?

?4（2）因为

?a?b?3?a3?3a2b?3ab2?b3?2?3ab?a+b??2+33?a+b?42?a+b??2?3?a+b?43

所以?a+b??8，因此a+b≤2.

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