能力提升
13．如图所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
解 作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298(m)， DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130(m)， EF＝BE－FC2＋BC2＝902＋1202＝150(m)． 在△DEF中，由余弦定理的变形公式，得
DE2＋EF2－DF21302＋1502－102×29816
cos∠DEF＝＝＝.
2DE·EF2×130×15065
16
即∠DEF的余弦值为.
65
14．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．
解 如图所示：
∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°
30
∵AB＝30，∴BC＝30，BD＝＝303.
tan 30°
在△BCD中，
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900， ∴CD＝30，即两船相距30 m.
1．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
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2．测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．
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第一章 解三角形章末复习课
课时目标
1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
一、选择题
1．在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于( ) A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对 答案 C
解析 sin B＝b·sin Aa＝2
2
，且b 2．在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 C 解析 cos Acos B>sin Asin B?cos(A＋B)>0， ∴A＋B<90°，∴C>90°，C为钝角． 3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( A．(2，＋∞) B．(－∞，0) C.??1?－2，0??? D.??1?2，＋∞??? 答案 D 解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)， c＝2mk(m>0)， 第30页 共183页 ) ??a＋b>c∵? ?a＋c>b? ?k＋?m? 即 ?3mk>mk＋? mk 1 ，∴k>. 2 4．如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(β<α)．则A点离地面的高AB等于( ) asin αsin βasin αA. B.α－βαasin αcos βacos αC. D.α－βα 答案 A 解析 设AB＝h，则AD＝， sin α在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴∴ sin β －βcos β －β hCDaα－β α－βsin β hasin αsin β ＝，∴h＝. sin αsin βα－β ＝ AD. 5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为( ) A．25 B．51 C．493 D．49 答案 D 113 解析 S△ABC＝AC·AB·sin 60°＝×16×AB×＝2203，∴AB＝55. 222 122222 ∴BC＝AB＋AC－2AB·ACcos 60°＝55＋16－2×16×55×＝2 401. 2 ∴BC＝49. 22 6．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a－b＝3bc， sin C＝23sin B，则A等于( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案 A 解析 由sin C＝23sin B，根据正弦定理，得 c＝23b，把它代入a2－b2＝3bc得 a2－b2＝6b2，即a2＝7b2. b2＋c2－a2b2＋12b2－7b2 由余弦定理，得cos A＝＝ 2bc2b·23b43b又∵0° 2 7．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm，其夹角的余弦值是方程5x－7x－6＝0的根，则 2 此三角形的面积是________cm. 答案 6 32 解析 由5x－7x－6＝0，解得x1＝－，x2＝2. 5 3 ∵x2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－， 5 第31页 共183页 ＝ 6b2 ＝2 3 . 2
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