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第一讲速算与巧算
华罗庚学校数学课本：二年级
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第一讲机智与顿悟 第二讲数数与计数 第三讲速算与巧算 第四讲数与形相映 第五讲一笔画问题 第六讲七座桥问题
第七讲数字游戏问题（一） 第八讲数字游戏问题（二） 第九讲整数的分拆 第十讲枚举法 第十一讲找规律法 第十二讲逆序推理法 第十三讲画图显示法 第十四讲等量代换法 第十五讲等式加减法 附：第一讲重量的认识 附：第二讲长度的认识 附：第三讲时间的认识（上） 附：第四讲时间的认识（下）
（2）53+36+47
第一讲速算与巧算
一、“凑整”先算
1.计算：（1）24+44+56 解：（1）24+44+56=24+（44+56）
1，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15
4，8，12，16，20等等都是等差连续数.
1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间 数乘以个数，简记成：
=24+100=124
这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的
第二讲数数与计数（一） 第三讲数数与计数（二） 第四讲认识简单数列 第五讲自然数列趣题 第六讲找规律（一） 第七讲找规律（二） 第八讲找规律（三） 第九讲填图与拆数
第十讲考虑所有可能情况（一） 第十一讲考虑所有可能情况（二） 第十二讲仔细审题 第十三讲猜猜凑凑 第十四讲列表尝试法 第十五讲画图凑数法
和算出来.
（2）53+36+47=53+47+36
（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9
=（53+47）+36=100+36=136
这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带
=5×9 =45 =5×5 =25 =6×5 =30 =9×5 =45
中间数是5 共9个数 中间数是5 共有5个数 中间数是6 共有5个数 中间数是9 共有5个数
着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.
2.计算：（1）96+15
（2）计算：1+3+5+7+9
（2）52+69
解：（1）96+15=96+（4+11）
（3）计算：2+4+6+8+10
=（96+4）+11=100+11=111
这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑
整先算.
（2）52+69=（21+31）+69
（4）计算：3+6+9+12+15
=21+（31+69）=21+100=121
这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，
（5）计算：4+8+12+16+20 =12×5 中间数是12 =60
共有5个数
2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数 与末数之和乘以个数的一半，简记成：
再把31+69=100凑整先算.
3.计算：（1）63+18+19 解：（1）63+18+19
（2）28+28+28 =60+2+1+18+19
=60+20+20=100
样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以 这
凑整先算. （2）28+28+28
=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84
样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2 这减去.
、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运 二
算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19
解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46
这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算 19-18=1.
2）45+18-19=45+（18-19） （=45-1=44
这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和
=60+（2+18）+（1+19）
（1）计算： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =（1+10）×5=11×5=55
共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.
（2）计算： 3+5+7+9+11+13+15+17 =（3+17）×4=20×4=80
共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17. （3）计算： 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =（2+20）×5=110
共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.
四、基准数法 （1）计算：23+20+19+22+18+21
解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每 个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去. 23+20+19+22+18+21 =20×6+3+0-1+2-2+1 =120+3=123
6个加数都按20相加，其和=20×6=按20计算就少加
相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫 等差数列，如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9
了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再 减去“1”，以此类推. （2）计算：102+100+99+101+98
解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选 100为基准数，采用基准数法进行巧算. 102+100+99+101+98 =100×5+2+0-1+1-2=500
是把有的加数带有符号搬家） 102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102 =100×5=500
可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100， 个数是5.
3.解：（1）82-49+18=82+18-49 =100-49=51
第一行白方块5个，黑方块4个； 第二行白方块4个，黑方块5个；
第三、五、七行同第一行，
第四、六、八行同第二行；
但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总 数比黑方块总数多1个.
白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个） 黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）
再一种方法是：
每一行的白方块和黑方块共9个.
共有9行，所以，白、黑方块的总数是：
9×9=81（个）.
由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块 是40个.
例2图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有 个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4） 才能把它补好
（1）3面涂色的小立方体共有1个； （2）4面涂色的小立方体共有4个；
（3）5面涂色的小立方体共有3个.
例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色， 然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些 切成的小立方体中，问：］
（2）82-50+49=82-1=81 （减50再加49等于减1）
（3）41-64+29=41+29-64 =70-64=6 4.解：（1）99+98+97+96+95 =100×5-1-2-3-4-5 =500-15=485
（ 每 个 加 数 都 按 100 算 ， 再 把 多 加 的 减 去 ） 或 99+98+97+96+95=97×5=485 （2）9+99+999=10+100+1000-3 =1110-3=1107
习题一
5.解：（1）5+6+7+8+9 =7×5=35
（2）5+10+15+20+25+30+35 =20×7=140
（3）9+18+27+36+45+54
=（9+54）×3=63×3=189
（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152 6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0 =300+3=303 （ 0-2+1+4 =800+4=804
7.解：方法1：原式=21+21+21+15=78 方法2：原式=21×4-6=84-6=78
方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78
第二讲数数与计数（一）
数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发
算
：
现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数
与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大
家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发
挥想像力.
例1数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方
块
2
）
87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+
方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就
（1）1面涂成红色的有几个 （2）2面涂成红色的有几个 （3）3面涂成红色的有几个
解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知： （1）上下两层中间的2块只有一面涂色；
（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；
（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后 检验一下小立体总块数：
2+8+8=18（个）.
1.计算：（1）18+28+72 （2）87+15+13 （3）43+56+17+24 （4）28+44+39+62+56+21 2.计算：（1）98+67 （2）43+28 （3）75+26
3.计算：（1）82-49+18 （2）82-50+49 （3）41-64+29
4.计算：（1）99+98+97+96+95 （2）9+99+999 5.计算：（1）5+6+7+8+9 （2）5+10+15+20+25+30+35 （3）9+18+27+36+45+54 （4）12+14+16+18+20+22+24+26 6.计算：（1）53+49+51+48+52+50 （2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84 7.
计
1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5
习题一解答
1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118 （2）87+15+13=（87+13）+15 =100+15=115 （3）43+56+17+24 =（43+17）+（56+24） =60+80=140
（4）28+44+39+62+56+21
=（28+62）+（44+56）+（39+21） =90+100+60=250
2.解：（1）98+67=98+2+65 =100+65=165
（2）43+28=43+7+21=50+21=71 或43+28=41+（2+28）=41+30=71 （3）75+26=75+25+1=100+1=101
解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边
形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更 清楚了.
例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表 面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问： （1）3面被涂成红色的小立方块有多少个
（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个
补好
习题二
1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙
2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗
若能补好，共需几块
（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个
解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表 面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接 触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没 涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都 写在了它的上面，参看图2－6所示.
3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不 同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块
解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因 为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以： 黑方块是：4×8=32（个） 白方块是：4×8=32（个）
再仔细观察图2－2，从上往下看：
4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的
六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长 为1寸的小正方体.
（发挥想像力）：
习题二解答
1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数
5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块； （4）8块；（5）64块.
6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2—18 中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.
第十四层6个 第十五层5个 第十六层4个 第十七层3个 第十八层2个 第十九层1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1） =55+45=100（利用已学过的知识计算）.
（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数
7.解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为
求：（1）3面涂成红色的有多少块 （2）2面涂成红色的有多少块 （3）1面涂成红色的有多少块 （4）各面都没有涂色的有多少块 （5）切成的小正方体共有多少块
5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染 成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体.
共1+2+2+1+2+2=10（块）.
如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚 了，如图2－15所示.
2.解：仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号 砖1块，也就是共需（如图2－16所示）
第一层1个 第二层3个 第三层5个 第四层7个 第五层9个
问：（1）有3面被染成蓝色的多少块 （2）有2面被染成蓝色的多少块 （3）有1面被染成蓝色的多少块 （4）各面都没有被染色的多少块 （5）锯成的小正方体木块共有多少块
6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的 外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆 开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块
1+2=3（块）.
3.解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行 分类数，再进行统计：
解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：
第六层11个 第七层13个 第八层15个 第九层17个 第十层19个
总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的 知识计算）.
（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示 的 样 子 ， 变 成 为 10 行 10 列 的 点 阵 . 显 然 点 的 总 数 为 10×10=100（个）.
第三讲数数与计数（二）
例1数一数，图3－1中共有多少点
小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫 身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.
第一层1个
7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围 成的，你知道哪一条绳子长吗（仔细观察，想办法比较 出来）.
4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4 块和最下层四个角上的4块.
（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那 块共8块和中层四角的4块.
（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的 那块.
（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块. （5）共切成了3×3×3=27（块）. 或是如下计算： 8+12+6+1=27（块）.
第二层2个 第三层3个 第四层4个 第五层5个 第六层6个 第七层7个 第八层8个 第九层9个 第十层10个 第十一层9个 第十二层8个 第十三层7个
想一想：
①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋. ②由方法1和方法3得出下式： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此
我们猜想：
1=1×1 1+2+1=2×2 1+2+3+2+1=3×3 1+2+3+4+3+2+1=4×4 1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
总数5+4+3+2+1=15（条）.
想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有： 总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：
这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多. 同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就 发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此
我们猜想： 1+3=2×2 1+3+5=3×3 1+3+5+7=4×4 1+3+5+7+9=5×5 1+3+5+7+9+11=6×6 1+3+5+7+9+11+13=7×7 1+3+5+7+9+11+13+15=8×8 1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
如果正确，我们就又发现了一条规律. 例2数一数，图3－5中有多少条线段
还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连 续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现 了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系. ②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫 做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条 数之间的关系是：
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大 的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数
线段总条数
共3个.以 OD 边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF 共2 个.以 OE 边为一边的锐角有：∠EOF 只1个. 锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.
②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为： 5+4+3+2+1=15（个）.
③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段 的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表 达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完 全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.
习题三
1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数 一数这些书共有多少本
想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的 锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见
图3－11～15）
两条射线1个角（见图3－11）
2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘
上共有多少个棋孔
三条射线2+1个角（见图3－12）
四条射线3+2+1个角（见图3－13） 3.数一数，图3－18中有多少条线段
还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确， 4.数一数，图3－19中有多少锐角
五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）
解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以 A 点为共同端点的线段有： ABACADAEAF5条.
以 B 点为共同左端点的线段有： BCBDBEBF4条.
以 C 点为共同左端点的线段有： CDCECF3条.
以 D 点为共同左端点的线段有： DEDF2条.
以 E 点为共同左端点的线段有： EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.
∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE， ∠AOF 共5个.
以 OB 边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE， ∠BOF 共4个.
以 OC 边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF
总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中 最大的自然数比射线数小1.
②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫
做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关 系是：
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的 自然数等于基本角个数.
习题三解答
1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：
6.数一数，图3－21中有多少正方形
还可以一直写下去，同学们可以自己试试看. 例3数一数，图3－9中共有多少个锐角
解：（1）我们知道，图中任意两条从 O 点发出的射线都 组成一个锐角.
所以，以 OA 边为公共边的锐角有：
六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）
5.数一数，图3－20中有多少个三角形
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