(3) W0未合一。
(4) 从左到右找不一致集，得D0={f(y)，x}。 (5) 取x0=x，t0=f(y)，则
?1=?0?{ t0/ x0}=?0?{f(y)/ x}={f(y)/x} W1= W0?1={P(f(y),y,f(y))，P(f(y),f(a),f(b))}
(3’) W1未合一。
(4’) 从左到右找不一致集，得D1={y，f(a)}。
(5’) 取x1=y，t1=f(a)，则
?2=?1?{ t1/ x1}=?1?{f(a)/ y}={ f(y)/ x}?{ f(a)/ y}={f(f(a))/x,f(a)/y} W2= W1?2={P(f(f(a)),f(a),f(f(a)))，P(f(f(a)),f(a),f(b))}
(6) 算法终止，W的mgu不存在。 （5）P(x,y)， P(y,x) 解：依据算法：
(1) 令W={P(x,y)，P(y,x)}。 (2) 令?0=?，W0=W。 (3) W0未合一。
(4) 从左到右找不一致集，得D0={x，y}。 (5) 取x0=x，t0=y，则
?1=?0?{ t0/ x0}=?0?{y/ x}={y/ x} W1= W0?1={P(y,y)，P(y,y)}
(3’) W2已合一，因为其中包含相同的表达式，这时?1={y/x}即为所求的mgu。
3.13把下列谓词公式分别化为相应的子句集：
（1）(?z)(?y)(P(z,y)?Q(z,y)) 解：所求子句集为S={P(z,y)，(z,y)} （2）(?x)(?y)(P(x,y)?Q(x,y)) 解：原式?(?x)(?y)(?P(x,y)?Q(x,y)) 所求子句集为S={?P(x,y)?Q(x,y)} （3）(?x)(?y)(P(x,y)?(Q(x,y)?R(x,y))) 解：原式?(?x)(?y)(P(x,y)?(?Q(x,y)?R(x,y))) ?(?x)(P(x,f(x))?(?Q(x,f(x))?R(x,f(x)))) 所求子句集为S={ P(x,f(x))?(?Q(x,f(x))?R(x,f(x)))} （4）(?x) (?y) (?z)(P(x,y)?Q(x,y)?R(x,z)) 解：原式?(?x) (?y) (?z)(?P(x,y)?Q(x,y)?R(x,z)) ?(?x) (?y) (?P(x,y)?Q(x,y)?R(x,f(x,y))) 所求子句集为S={?P(x,y)?Q(x,y)?R(x,f(x,y))}
（5）(?x) (?y) (?z) (?u) (?v) (?w)(P(x,y,z,u,v,w)?(Q(x,y,z,u,v,w)??R(x,z,w))) 解
：
原
式
?(?x)
(?y) (?y)
(?z)
(?u)
(?v) (?z)(?v)
(P(x,y,z,u,v,f(z,v))?(Q(x,y,z,u,v,f(z,v))??R(x,z,f(z,v))))
?(?x)
(P(x,y,z,f(z),v,f(z,v))?(Q(x,y,z,f(z),v,f(z,v))??R(x,z,f(z,v))))
?(?z)(?v) (P(a,b,z,f(z),v,f(z,v))?(Q(a,b,z,f(z),v,f(z,v))??R(a,b,f(z,v)))) 所求子句集为S={ P(a,b,z,f(z),v,f(z,v))，Q(a,b,z,f(z),v,f(z,v))??R(a,b,f(z,v))}
3.14判断下列子句集中哪些是不可满足的：
（1）S={?P?Q, ?Q,P, ?P }
9
解：使用归结推理：
(1) ?P?Q (2) ?Q (3)P (4) ?P (3)与(4)归结得到NIL，因此S是不可满足的。 （2）S={P?Q, ?P?Q,P??Q, ?P??Q } 解：使用归结推理：
(1) P?Q (2) ?P?Q (3) P??Q (4) ?P??Q (1)与(2)归结得 (5)Q (3)与(5)归结得 (6)P (4)与(6)归结得 (7) ?Q
(5)与(7)归结得NIL，因此S是不可满足的。 （3）S={P(y)?Q(y), ?P(f(x)) ?R(a) } 解：使用归结推理：
设C1= P(y)?Q(y)，C2=?P(f(x)) ?R(a)，选L1= P(y)，L2=?P(f(x))，则
L1与L2的mgu是?={f(x)/y}，C1 与C2的二元归结式C12=Q(f(x))?R(a)，因此S是可满足的。 （4）S={?P(x)?Q(x), ?P(y)?R(y),P(a), S(a), ?S(z)??R(z) } 解：使用归结推理：
(1) ?P(x)?Q(x) (2) ?P(y)?R(y) (3) P(a) (4) S(a) (5) ?S(z)??R(z) (2)与(3)归结得到 (6)R(a) (4)与(5)归结得到 (7) ?R(a)
(6)与(7)归结得到NIL，因此S是不可满足的。
（5）S={?P(x)? ?Q(y) ? ?L(x,y), P(a), ?R(z) ? L(a,z) ,R(b),Q(b) } 解：使用归结推理：
(1) ?P(x)? ?Q(y) ? ?L(x,y) (2) P(a) (3) ?R(z) ? L(a,z) (4) R(b) (5) Q(b) (1)与(2)归结得到 (6) ?Q(y) ? ?L(a,y) (5)与(6)归结得到 (7) ?L(a,b) (3)与(4)归结得到 (8) L(a,b)
(7)与(8)归结得到NIL，因此S是不可满足的。
（6）S={?P(x)?Q(f(x),a), ?P(h(y))?Q(f(h(y)),a) ??P(z) } 解：使用归结推理：
令C1= ?P(x)?Q(f(x),a)，C2= ?P(h(y))?Q(f(h(y)),a) ??P(z) 则 C2内部的mgu是?={h(y)/z}，合一后C2’=?P(h(y))?Q(f(h(y)),a) 选L1=?P(x)，L2=?P(h(y)) 则 L1与L2的mgu是?={h(y)/x}，
C1 与C2’的二元归结式C12=?P(h(y))?Q(f(h(y)),a)，因此S是可满足的。 （7）S={P(x)? Q(x) ? R(x), ?P(y) ? R(y) , ?Q(a), ?R(b) } 解：使用归结推理：
(1) P(x)? Q(x) ? R(x) (2) ?P(y) ? R(y) (3) ?Q(a) (4) ?R(b) (1)与(3)归结得到 (5) P(a) ? R(a) (2)与(4)归结得到 (6) ?P(b) (5)与(6)归结得到 (7) R(b)
(4)与(7)归结得到NIL，因此S是不可满足的。 （8）S={P(x)?Q(x), ?Q(y)?R(y), ?P(z)?Q(z) , ?R(u)} 解：使用归结推理：
(1) P(x)?Q(x) (2) ?Q(y)?R(y) (3) ?P(z)?Q(z) (4) ?R(u)
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(2)与(4)归结得到 (5) ?Q(u) (1)与(5)归结得到 (6) P(u) (3)与(6)归结得到 (7)Q(u)
(5)与(7)归结得到NIL，因此S是不可满足的。
4.5类似：设有如下一组推理规则:
r1: IF E1 THEN E2 (0.6)
r2: IF E2 AND E3 THEN E4 (0.7) r3: IF E4 THEN H (0.8) r4: IF E5 THEN H (0.9)
且已知CF(E1)=0.5, CF(E3)=0.6, CF(E5)=0.7。求CF(H)=? 解：(1) 先由r1求CF(E2)
CF(E2)=0.6 × max{0,CF(E1)} =0.6 × max{0,0.5}=0.3
(2) 再由r2求CF(E4)
CF(E4)=0.7 × max{0, min{CF(E2 ), CF(E3 )}} =0.7 × max{0, min{0.3, 0.6}}=0.21
(3) 再由r3求CF1(H)
CF1(H)= 0.8 × max{0,CF(E4)}
=0.8 × max{0, 0.21)}=0.168 (4) 再由r4求CF2(H)
CF2(H)= 0.9 ×max{0,CF(E5)} =0.9 ×max{0, 0.7)}=0.63
(5) 最后对CF1(H )和CF2(H)进行合成，求出CF(H) CF(H)= CF1(H)+CF2(H)+ CF1(H) × CF2(H) =0.692 4.9 设有如下推理规则
r1: IF E1 THEN (2, 0.00001) H1 r2: IF E2 THEN (100, 0.0001) H1 r3: IF E3 THEN (200, 0.001) H2 r4: IF H1 THEN (50, 0.1) H2
且已知P(E1)= P(E2)= P(H3)=0.6, P(H1)=0.091, P(H2)=0.01, 又由用户告知： P(E1| S1)=0.84, P(E2|S2)=0.68, P(E3|S3)=0.36 请用主观Bayes方法求P(H2|S1, S2, S3)=? 解：(1) 由r1计算O(H1| S1)
先把H1的先验概率更新为在E1下的后验概率P(H1| E1) P(H1| E1)=(LS1 × P(H1)) / ((LS1-1) × P(H1)+1) =(2 × 0.091) / ((2 -1) × 0.091 +1) =0.16682
由于P(E1|S1)=0.84 > P(E1)，使用P(H | S)公式的后半部分，得到在当前观察S1下的后验概率P(H1| S1)和后验几率O(H1| S1)
P(H1| S1) = P(H1) + ((P(H1| E1) – P(H1)) / (1 - P(E1))) × (P(E1| S1) – P(E1)) = 0.091 + (0.16682 –0.091) / (1 – 0.6)) × (0.84 – 0.6) =0.091 + 0.18955 × 0.24 = 0.136492 O(H1| S1) = P(H1| S1) / (1 - P(H1| S1))
11
= 0.15807 (2) 由r2计算O(H1| S2)
先把H1的先验概率更新为在E2下的后验概率P(H1| E2) P(H1| E2)=(LS2 × P(H1)) / ((LS2-1) × P(H1)+1) =(100 × 0.091) / ((100 -1) × 0.091 +1) =0.90918
由于P(E2|S2)=0.68 > P(E2)，使用P(H | S)公式的后半部分，得到在当前观察S2下的后验概率P(H1| S2)和后验几率O(H1| S2)
P(H1| S2) = P(H1) + ((P(H1| E2) – P(H1)) / (1 - P(E2))) × (P(E2| S2) – P(E2)) = 0.091 + (0.90918 –0.091) / (1 – 0.6)) × (0.68 – 0.6) =0.25464
O(H1| S2) = P(H1| S2) / (1 - P(H1| S2)) =0.34163
(3) 计算O(H1| S1,S2)和P(H1| S1,S2) 先将H1的先验概率转换为先验几率
O(H1) = P(H1) / (1 - P(H1)) = 0.091/(1-0.091)=0.10011
再根据合成公式计算H1的后验几率
O(H1| S1,S2)= (O(H1| S1) / O(H1)) × (O(H1| S2) / O(H1)) × O(H1) = (0.15807 / 0.10011) × (0.34163) / 0.10011) × 0.10011 = 0.53942
再将该后验几率转换为后验概率
P(H1| S1,S2) = O(H1| S1,S2) / (1+ O(H1| S1,S2)) = 0.35040 (4) 由r3计算O(H2| S3)
先把H2的先验概率更新为在E3下的后验概率P(H2| E3) P(H2| E3)=(LS3 × P(H2)) / ((LS3-1) × P(H2)+1) =(200 × 0.01) / ((200 -1) × 0.01 +1) =0.09569
由于P(E3|S3)=0.36 < P(E3)，使用P(H | S)公式的前半部分，得到在当前观察S3下的后验概率P(H2| S3)和后验几率O(H2| S3)
P(H2| S3) = P(H2 | ? E3) + (P(H2) – P(H2| ?E3)) / P(E3)) × P(E3| S3) 由当E3肯定不存在时有
P(H2 | ? E3) = LN3 × P(H2) / ((LN3-1) × P(H2) +1) = 0.001 × 0.01 / ((0.001 - 1) × 0.01 + 1) = 0.00001 因此有
P(H2| S3) = P(H2 | ? E3) + (P(H2) – P(H2| ?E3)) / P(E3)) × P(E3| S3) =0.00001+((0.01-0.00001) / 0.6) × 0.36 =0.00600
O(H2| S3) = P(H2| S3) / (1 - P(H2| S3))
=0.00604
(5) 由r4计算O(H2| H1)
先把H2的先验概率更新为在H1下的后验概率P(H2| H1) P(H2| H1)=(LS4 × P(H2)) / ((LS4-1) × P(H2)+1)
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