中国石油大学近三年高数期末试题及答案

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷

（工科类）参考答案及评分标准

一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“?” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若f(x)在(a,??)无界，则limf(x)??.（ ? ）------------- （ 1分 ）

x???例如：f(x)?xsinx，在(1,??)无界，但limxsinx??. ------- （ 2分 ）

x???2．若f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点必可导.（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：f(x)?x，在x?0点连续，但f(x)?x 在 x?0不可导. ------ （ 2分 ） 3．若limxnyn?0，则limxn?0或limyn?0.（ ? ）-------------- （ 1分 ）

n??n??n??例如：xn:1,0,1,0,?n??n??yn:0,1,0,1,?n??

有limxnyn?0，但limxn，limyn都不存在. ---------------------------- （ 2分 ） 4．若f?(x0)?0，则f(x)在x0点必取得极值.（ ? ）------------------- （ 1分 ）

33例如：f(x)?x，f?(0)?0，但f(x)?x在x?0点没有极值. ---------（ 2分 ）

5．若f(x)在[a,b]有界，则f(x)在[a,b]必可积.（ ? ）------------- （ 1分 ） 例如：D(x)???1,当x为有理数，，在[0,1]有界，但D(x)在[0,1]不可积. （ 2分 ） .?0,当x为无理数二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）

1. 指出函数f(x)?x?cotx的间断点，并判断其类型. 解 函数f(x)?x?cotx的间断点为：

x?k?,k?0,?1,?2,? ------------------------------------------------------- ( 3分 )

当 k?0, 即 x?0 时, limf(x)?limxcotx?limx?0x?0x?0xcosx?1, sinx?x?0为函数f(x)?x?cotx的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )

1

当x?k?,k??1,?2,?时, limf(x)?limxcotx?limx?k?x?k?x?k?xcosx??, sinx?x?k?,(k??1,?2,?)为函数f(x)?x?cotx的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )

2．求极限limx???1x2x0?x0(1?t2)et?xdt

解 limx???1x2?(1?t2)et?x?dt?limx???x0(1?t2)etdtx2ex?????-------------------（3分） ???(1?x2)ex?limx???(2x?x2)ex----------------------------------------------------------------- ( 3分 )

1?x2?lim?1.---------------------------------------------------------------（1分） x???2x?x22dy3．设方程xy?x(x?0,y?0)确定二阶可导函数y?y(x)，求2.

dxy解1 对xy?y11x两边取对数，得 lny?lnx，

xy即 ylny?xlnx，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )

等式两边关于x求导，得：(1?lny)dydy1?lnx?1?lnx，即?，------- ( 2分 ) dxdx1?lnyd2yd?dy??2????dx?dx?dx?11dy(1?lny)?(1?lnx)??xydx---------------------------- ( 2分 ) 2(1?lny)y(1?lny)2?x(1?lnx)2.------------------------------------------------ ( 1分 ) 3xy(1?lny)三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）

sinxcos3xdx. 1．求不定积分?1?sin2x2sinxco3sxsinx(1?sinx)dx?d(sinx) ------------------------（2分） 解 ?22?1?sinx1?sinx2t?t(1?t2)??t?dt ------------------（2分） dt（令sinx?t） =?=???1?t2?1?t2? 2

t21???ln(1?t2)?C=?sin2x?ln(1?sin2x)?C.----------------（3分）

2222．设lnx 是函数f(x)的一个原函数，求xf?(x)dx.

?解 ?(lnx)??22lnx?f(x)，------------------------------------------------- ( 2分 ) x??f(x)dx?ln2x?C，------------------------------------------------------- ( 2分 ) ??xf?(x)dx??xdf(x)

?xf(x)??f(x)dx

?2lnx?ln2x?C.-------------------------------------------- ( 3分 )

?3．求定积分

????4(x3sinx4?cos72x)dx.

??4解

???44(xsinx?cos2x)dx???347??44xsinxdx??34?7cos2xdx------- ( 1分 ) ?44?0?????44cos72xdx-------------------------------------------------------（2分）

?2??40cos72xdx----------------------------------------------------------（2分）

（令2x?t） ???20cos7tdt----------------------------------------------------------------（1分）

6!!.---------------------------------------------------------------------------（1分） 7!!四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）

1．已知一个长方形的长l以2cm/s的速度增加，宽w以3cm/s的速度增加，则当长为12cm，宽为5cm时，它的对角线的增加率是多少？

解：设长方形的对角线为y，则 y?l?w ----------------------------------- ( 2分 )

222dydldw?2l??2w?， dtdtdtdydldw?l??w? 即 y?------（1）-------------------------------- ( 2分 ) dtdtdtdldw?2,?3,l?12,w?5,?y?122?52?13,代入（1）式，得 已知dtdt两边关于t求导，得 2y? 3