各章所占分值如下：
第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 第 四 章 第 五 章 第 六 章
微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及其应用 常微分方程 6
20 %； 14 %； 30 % . 7 % .
2014—2015学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试A卷
( 工 科 类 )
参考答案及评分标准
各章所占分值如下：
第 一 章 函数与极限 第 二 章 一元函数的导数与微分 第 三 章 微分中值定理与导数的应用第 四 章 不定积分 第 五 章 定积分及其应用 第 六 章 常微分方程
7
16 %； 16 %； 14 %； 15 %； 26 % . 13 % .
一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确 ? 本题满分12分 在 本 题后的括号内打“√”或“?” ，如果正确，请给出证明，如果不 题得正确请举一个反例进行说明 . 分
1．极限limsin1不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）
x?0x111证 设f(x)?sin ，取xn?，yn?，(n?1,2,?)
?x2n?2n??2limxn?0，limyn?0，
n??n??1?limsin2n??0，
n??n??xnn???1?limsin(2n??)?1， limf(yn)?limsinn??n??2ynn??1由海涅定理，limsin不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）
x?0x但limf(xn)?limsin
2．若曲线y?f(x)在(x0,f(x0))点处存在切线，则f(x)在x0点必可导. （ ? ）
--------------------------------------------------------（2分） 例：y?3x在(0,0)点处有切线x?0，但y?3x在x?0处不可导.
---------------------------------------------------------（2分）
3．设函数f(x)在[a,b]上连续且下凸，在(a,b)内二阶可导，则
?x?(a,b)有f??(x)?0. （
例：f(x)?x4在[?2,3]上连续且下凸，但 f??(0)?0.
? ）
----------------------------------------------------------（2分）
. ---------------------------------------------------------（2分）
8
二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限lim(n??本题满分18分 本 题得分 1nn?1)?sin(n!) .
解 ?lim(
1nn??n ?1)?0, sinn(!)?1,------------------------------------------------------（3分）
1（3分） ?lim(n?1)?sin(n!)?0.----------------------------------------------------------------n??n
2.求极限lim?x0(1?t4)et?xdtx44x???.
解
x????limx0(1?t)ex4t?xdt??limx???x0(1?t4)etdtx4ex?????----------------------------（3分） ???(1?x4)ex?limx???(4x3?x4)ex
3．求极限lim(1?x4?lim?1.-----------------------------------------（3分） x???4x3?x4nnn????). 2222n??n2?12n?2n?nnnn????) 解 lim(22222n??n?12n?2n?nn11 ------------------------------------------------------------------（3分） ?lim??2n??ni?1?i?1????n?dx??01?x21?arctanx10??4.-------------------------------------------------------（3分）
9
三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数f?x??本题满分18分 本 题得分 1?e1x1x的间断点并判断其类型.
1?2e
解 x?0是f(x)的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）
又 lim?f(x)?lim?x?01?e1x1xx?0?1?2e11?e，lim?f(x)?lim??1， 1x?0x?021?2ex1x?x?0是f(x)的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）
?ex?1?,x?02．设f(x)??x，求 f?(x).
?0,x?0?解 当x?0时，f?(x)?2e2x?x?(ex2x2x2?1)?2ex?ex22ex2?1x2----------------- （3分 ）
当x?0时，f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?limx?0x?0?1xx
?limx?02ex2?12x?limx?02xe2xx2?1，
?x2ex?1?2e?,x?0, ?f?(x)??------------------------------------------------ （ 3分 ) x2?1,x?0.??x?ln(sint)dyd2y3．设方程?确定y为x的函数，求与. 2dxdxy?cost?tsint?dyy?(t)??tsint , --------------------------------------------------------------------（3分） 解
dxx?(t)
ddtsint?tcostd2yd?dy?d?sinttant?tsint. ?tsint?tsint?????????dx2?dtdxx(t)dxdx?dx?-----------------------------------------------------------------------（3分）
10
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