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中国石油大学近三年高数期末试题及答案

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各章所占分值如下:

第 一 章 函数与极限 13 %; 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %; 第 三 章 第 四 章 第 五 章 第 六 章

微分中值定理与导数的应用 不定积分 定积分及其应用 常微分方程 6

20 %; 14 %; 30 % . 7 % .

2014—2015学年第一学期 《高等数学(2-1)》期末考试A卷

( 工 科 类 )

参考答案及评分标准

各章所占分值如下:

第 一 章 函数与极限 第 二 章 一元函数的导数与微分 第 三 章 微分中值定理与导数的应用第 四 章 不定积分 第 五 章 定积分及其应用 第 六 章 常微分方程

7

16 %; 16 %; 14 %; 15 %; 26 % . 13 % .

一.(共3小题,每小题4分,共计12 分)判断下列命题是否正确 ? 本题满分12分 在 本 题后的括号内打“√”或“?” ,如果正确,请给出证明,如果不 题得正确请举一个反例进行说明 . 分

1.极限limsin1不存在. ( √ )--------------------------------------------------(2分)

x?0x111证 设f(x)?sin ,取xn?,yn?,(n?1,2,?)

?x2n?2n??2limxn?0,limyn?0,

n??n??1?limsin2n??0,

n??n??xnn???1?limsin(2n??)?1, limf(yn)?limsinn??n??2ynn??1由海涅定理,limsin不存在. ---------------------------------------------------------------(2分)

x?0x但limf(xn)?limsin

2.若曲线y?f(x)在(x0,f(x0))点处存在切线,则f(x)在x0点必可导. ( ? )

--------------------------------------------------------(2分) 例:y?3x在(0,0)点处有切线x?0,但y?3x在x?0处不可导.

---------------------------------------------------------(2分)

3.设函数f(x)在[a,b]上连续且下凸,在(a,b)内二阶可导,则

?x?(a,b)有f??(x)?0. (

例:f(x)?x4在[?2,3]上连续且下凸,但 f??(0)?0.

? )

----------------------------------------------------------(2分)

. ---------------------------------------------------------(2分)

8

二.(共3小题,每小题6分,共计18分) 1. 求极限lim(n??本题满分18分 本 题得分 1nn?1)?sin(n!) .

解 ?lim(

1nn??n ?1)?0, sinn(!)?1,------------------------------------------------------(3分)

1(3分) ?lim(n?1)?sin(n!)?0.----------------------------------------------------------------n??n

2.求极限lim?x0(1?t4)et?xdtx44x???.

x????limx0(1?t)ex4t?xdt??limx???x0(1?t4)etdtx4ex?????----------------------------(3分) ???(1?x4)ex?limx???(4x3?x4)ex

3.求极限lim(1?x4?lim?1.-----------------------------------------(3分) x???4x3?x4nnn????). 2222n??n2?12n?2n?nnnn????) 解 lim(22222n??n?12n?2n?nn11 ------------------------------------------------------------------(3分) ?lim??2n??ni?1?i?1????n?dx??01?x21?arctanx10??4.-------------------------------------------------------(3分)

9

三.(共3小题,每小题6分,共计18分) 1.求函数f?x??本题满分18分 本 题得分 1?e1x1x的间断点并判断其类型.

1?2e

解 x?0是f(x)的间断点,---------------------------------------------------------------------(3分)

又 lim?f(x)?lim?x?01?e1x1xx?0?1?2e11?e,lim?f(x)?lim??1, 1x?0x?021?2ex1x?x?0是f(x)的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------(3分)

?ex?1?,x?02.设f(x)??x,求 f?(x).

?0,x?0?解 当x?0时,f?(x)?2e2x?x?(ex2x2x2?1)?2ex?ex22ex2?1x2----------------- (3分 )

当x?0时,f?(0)?limx?0f(x)?f(0)?limx?0x?0?1xx

?limx?02ex2?12x?limx?02xe2xx2?1,

?x2ex?1?2e?,x?0, ?f?(x)??------------------------------------------------ ( 3分 ) x2?1,x?0.??x?ln(sint)dyd2y3.设方程?确定y为x的函数,求与. 2dxdxy?cost?tsint?dyy?(t)??tsint , --------------------------------------------------------------------(3分) 解

dxx?(t)

ddtsint?tcostd2yd?dy?d?sinttant?tsint. ?tsint?tsint?????????dx2?dtdxx(t)dxdx?dx?-----------------------------------------------------------------------(3分)

10

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