四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分e 解
本题满分18分 本 题得分 ?x2?lnxdx.
?ex2?lnxdx??e?ex2lnxdx??exdx-----------------------（3分）
x221x21x2??ed(x)?e?C.-------------------------------------------------------------（3分） 22
2 2．求不定积分xcosxdx.
?解
2?xcosxdx??x????
1?cos2xdx-------------------------------------------------------（1分） 211xdx?xcos2xdx ??22121x??xd(sin2x)---------------------------------------------------（2分） 441211x?xsin2x??sin2xdx-------------------------------------（2分） 4441211x?xsin2x?cos2x?C.------------------------------------（1分） 4483．设f(x)在[?1,1]上连续，求定积分
?1?1{[f(x)?f(?x)]sinx?1?x2}dx.
解1
?1?11?1{[f(x)?f(?x)]sinx?1?x2}dx [f(x)?f(?x)]sinxdx??101?1??1?x2dx------------------------------（1分）
?0?2??2?
1?x2dx（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）
2.------------------------------------------------------------------------------（2分）
?4??11
五．（本题8分）设由曲线 y?lnx 与直线 x?ey?0 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D的面积S；（4分）
(2) 求D绕直线x?e旋转所得旋转体的体积 V.（4分）
本题满分8 分 本 题得分 解 曲线y?lnx与直线 x?ey?0的交点为(e,1)，------------（1分）
y(1)S??(ey?ey)dy01x?ey(e,1)1Dy?lnxx?ey2y?[ey?e]201o1ex
?e?1. --------------------（3分） 2（2） V?V1?V2?? ??e2?10 (e?ey)dy???(e?ey)2dy------------------------------（2分）
02121?210(1?y)dy???(e2?2eey?e2y)dy
0(1?y)3 ???e310e2y??(ey?2ee?)
202y1 ?
?e231e2???(2e??)?(5e2?12e?3).---------------------（2分）
22612
六．（共2小题，每小题6分，共计12分）
1．设有半径为R的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为?), 求将池中水全部抽出所做的功.
解 过球心的纵截面建立坐标系如图,
则半圆方程为x2?y2?R2.-------------------------------------（1分）
本题满分12分 本 题得分 ?x?[0,R],取[x,x?dx]所做功的微元：oxx?dxRydW??g?(R2?x2)dx?x（其中g为重力加速度）??g?(R2x?x3)dx???????（3分）x2?y2?R2故W??g??((Rx?x)dx0Rx23
?
?4
?gR4.---------------------------------------------------------------------------（2分）
2．设有质量为m的降落伞以初速度v0开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为k?0），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.
解 设降落伞下降的速度为v(t)，则根据牛顿第二运动定律，有 mdv?mg?kv，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分） dtdvdt? ， 分离变量，得
mg?kvmdvdt??， 两端积分 ?mg?kvm1tk?lnmg?kv??C1 ， lnmg?kv??t?kC1， kmmk?tmmg?kv?Ce
（其中C?e?kC1，mg?kv?0）---------------------------------（2分）
由已知v(0)?v0，代入上式，得C?mg?kv0，
mgmg?mt故 v??(v0?)e.------------------------------------------------------------（2分）
kk
13
k
七．（本题6分）求微分方程y???5y??6y?6x2?10x?2的通解.
解 特征方程为：r2?5r?6?0,特征根：r1?2,r2?3.
本题满分6分 本 题得分 对应齐次方程的通解为：y?C1e2x?C2e3x.----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为y1?Ax2?Bx?C，----------------（1分）
??2Ax?B,y1???2A,代入原方程得， y12A?5(2Ax?B)?6(Ax2?Bx?C)?6x2?10x?2， 6Ax2?(6B?10A)x?2A?5B?6C?6x2?10x?2,
?6A?6,?比较同次幂的系数，得?6B?10A??10,
?2A?5B?6C?2.?解之得，A?1,B?0,C?0. ?y1?x2.
故所要求的通解为y?C1e2x?C2e3x?x2.---------------------------------------------（2分）
14
八．（本题8分）设L是一条平面曲线，其上任意一点(x,y)(x?0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(（1）试求曲线L的方程；
本题满分8分 本 题得分 1,0). 2（2）求L位于第一象限的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L上点(x,y)处的切线方程为：Y?y?y?(X?x)， 令X?0，得切线在y轴上的截距：Y?y?xy?，
ydy?y?由题意，得x?y?y?xy?，即1?????，(x?0)------------（2分）
xdx?x?222令
ydudxdudx?u，则??,(x?0)?????,(x?0)
22xxx1?u1?uy代入并化简，得 x11122 y?x?y?C，由L经过点(,0)，令x?，y?0，得C?，
22211222故曲线L的方程为：y?x?y?,即 y??x.----------------------------------（2分）
2412（2）曲线L：y??x在点(x,y)处的切线方程为：Y?y?y?(X?x)，
411122(0?x?)， 即Y?(?x)??2x(X?x)，亦即 Y??2xX?x?4421x2?4,0)，(0,x2?1).-----------------------（2分）切线与x轴及y轴的交点分别为：(
42x1(x2?)21114所求面积S(x)????2(?x2)dx，(x?0)
0422x114x2(x2?)?2(x2?)2144?1(x2?1)(3x2?1)，(x?0) S?(x)??444x24x2?ln(u?1?u2)??lnx?lnC,?x(u?1?u2)?C,将u?令S?(x)?0，得S(x)符合实际意义唯一驻点：x?3， 6即x?13)内的最小值点， 故所求切线方程为： 为S(x)在(0,26Y??2?33131X??,即Y??X?.---------------------------------------------（2分） 63643315
相关推荐：
loading