五．（本题8分）设D为曲线y?ex与直线x?1，x轴、y轴所围成的平面图形，求：
(1) D的面积S；（4分）
(2) D绕y轴旋转一周所得的旋转体体积V.（4分）
本题满分8分 本 题得分 解：（1）S=?10exdx?ex1?e?1. ------------- （ 4分 ） 010?2??exdx?2?. ------------- （ 4分 ）
01（2）V=2??10xexdx?2?xexe或V=?e??ee122lnydy??e??(ylny?2ylnydy) ?11?1yee1=?e??e?2??lnydy?2?ylny?2??ydy?2?.
111ye
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六．（共2小题，每小题6分，共计12分）
1．一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力，其中水的密度为?，重力加速度为g.
本题满分12分 本 题得分 解：建立坐标系（原点在顶端中点，x轴竖直向下，y轴水平向右），设x为水深，选x为积分变量，x?[0,20]， ------------- （ 1分 ）
?[x,x?dx]?[0,20]，则对应的闸门小窄条上各点处的压强近似为?gx，小窄条的面积近似为2ydx， ------------- （ 2分 ）
x20x又，得y?5?，故 =1025?yxdF?2?gx(5?)dx， ------------- （ 2分 ）
1020x4400?g(N). ------------- （ 1分 ） 得F???gx(10?)dx?053
2．一立体的下部为圆柱体，上部为以圆柱体顶面为底面的半球体，若该物体的体积为常数V，问圆柱体的高h和底圆半径r为多少时，此立体有最小表面积.（常用公式：半径
2为a的球的体积公式为V=?a，表面积公式为S?4?a.）
433解：由于立体表面积S?2?rh?3?r， ------------- （ 2分 ） 且满足?r??rh=V，可得h?2V2?r，即 2?r32?2V5?2?VS?2?r?2?r??3?r2??r， ------------- （ 1分 ）
3?r3??rV23V3?r?0由h?，可推知，又 0?r??r232?3223dS10?2VdS3V3V?r?2，令?0，得唯一的驻点r=3，此时h?r=3， dr3rdr5?5?------------- （ 2分 ）
故由实际问题的意义，可知当h?r=3
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3V时，立体的表面积有最小值. -------- （ 1分 ） 5?
七．（共2小题，共计9分）
1．求微分方程y???2y??3y?e?x的通解.（5分）
解：对应的齐次方程的特征方程为r2?2r?3?0，得特征根为 r1?3,r2??1， -------- （ 1分 ） 由于?1为特征单根，故可设方程特解为
本题满分9分 本 题得分 11y*?Axe?x，代入方程可得A??，即y*??xe?x，-------- （ 2分 ）
44又齐次方程的通解为y?C1e?x?C2e3x，故 -------- （ 1分 ）
1所求微分方程的通解为y?C1e?x?C2e3x?xe?x. -------- （ 1分 ）
4ysinx2. 求微分方程y???的通解. （4分）
xx解：由通解公式，可得
11?xdx?sinx?xdx? -------- （ 2分 ） y?eedx????x?? ?1?sinx?1xdx???(?cosx?C). -------- （ 2分 ）
x??x?x本题满分5分 本 题得分 八．（本题5分）设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且
1f(0)?f(1)?0,f()?1，证明：至少存在一点??(0,1)，使得f?(?)=1.
2证明：令F(x)?f(x)?x， -------- （ 2分 ） 则F(0)?f(0)?0=0，
1111F(1)?f(1)?1??1?0，又F()?f()?=?0，由闭区间上连续函数的零点定理，
22221得存在??(,1)，使得F(?)?0， -------- （ 2分 ）
2故F(x)在[0,?]上连续，在(0,?)上可导，并且F(0)?F(?)?0，
根据罗尔定理，可得存在一点??(0,?)?(0,1)，使得F?(?)=0，即f?(?)=1.
-------- （ 1分）
各章分值分配：
第1章 10分；第2章 22分；第3章 19分； 第4章 6分；第5章 34分；第6章 9分。
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