③若P(a,b)在原函数y?f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上． ④一般地，函数y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y?x叫做幂函数，其中x为自变量，?是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数的图象在
?(0,??)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
④奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当??qpq（其中p,q互质，ppqp和q?Z），若p为奇数q为奇数时，则y?x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y?x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y?x是非奇非偶函数．
?⑤图象特征：幂函数y?x,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下方，若x?1，其图
qp象在直线y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，其图象在直线y?x下方．
〖补充知识〗二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
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①一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0)②顶点式：f(x)?a(x?h)2?k(a?0)③两根式：
f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x??b,顶点坐标是2ab4ac?b2(?,)． 2a4a②当a?0时，抛物线开口向上，函数在(??,?bbb]上递减，在[?,??)上递增，当x??时，2a2a2a4ac?b2bbb]上递增，,??)上递减，fmin(x)?；当a?0时，抛物线开口向下，函数在(??,?在[?当x??2a2a2a4a4ac?b2时，fmax(x)?．
4a2③二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)当??b?4ac?0时，图象与x轴有两个交点
M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|?|x1?x2|?2?． |a|（4）一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两实根为x1,x2，且x1?x2．令f(x)?ax?bx?c，从以下四个
方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：x??①k＜x1≤x2 ?
22b ③判别式：? ④端点函数值符号． 2ayf(k)?0?ya?0x??b2aOkx1x??kx2b2aOx?x1x2xa?0f(k)?0
②x1≤x2＜k ?
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ya?0Oyf(k)?0?x??Ob2ax1x2kxb2akx2?x1a?0xx??f(k)?0
③x1＜k＜x2 ? af(k)＜0
ya?0y?f(k)?0x2xa?0Ok?x1x2xx1Okf(k)?0
④k1＜x1≤x2＜k2 ?
y??a?0yx??f(k1)?0f(k)?02x1x2k2xOb2aOk1k1?x1x2?k2xbx??2a f(k1)?0a?0f(k2)?0 ⑤有且仅有一个根x（或x2）满足k1＜x（或x2）＜k2 ? f(k1)f(k2)?0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=011
这两种情况是否也符合
y?a?0yf(k1)?0?f(k1)?0x1k2?Ok1x2xOx1k1a?0x2?k2xf(k2)?0f(k2)?0
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2 ? 此结论可直接由⑤推出．
（5）二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间[p,q]上的最值 设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x0?（Ⅰ）当a?0时（开口向上） ①若?2
1(p?q)． 2bbbb?p，则m?f(p) ②若p???q，则m?f(?) ③若??q，则m?f(q) 2a2a2a2a第 - 13 - 页 共 100 页
?????????f(q) Of(p) x
Of(?b)2af(q) x
f(p) Ofbf((p)? )2ax
b)2aff(?(q) bb?x0，则M?f(q) ②??x0，则M?f(p) ①若?2a2a ??? f x(q)0 Ox
f b(p) )f(? 2a(Ⅱ)当a?0时(开口向下) ①若?
?bf(?) 2a f (p) Ox
f ??(q) ①若?
?bf(?)2a???f(p) x0Ox
b)2aff(?(q) bbbb?p，则M?f(p) ②若p???q，则M?f(?) ③若??q，则M?f(q) 2a2a2a2a?f(?b)2aff(p) O(q) x
Ox
??f
??(q)
f(p)
bb?x0，则m?f(q) ②??x0，则m?f(p)． 2a2a?f(?b)2a?f(?f(p) Ofb)2a(q) x0x
x0Of
??(q)
x
??f(p) 第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y?f(x)(x?D)，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)(x?D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0实数根，亦即函数y?f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：
方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有交点?函数y?f(x)有零点．
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3、函数零点的求法： 求函数y?f(x)的零点：
1 （代数法）求方程f(x)?0的实数根； ○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?○
性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数y?ax2?bx?c(a?0)．
１）△＞０，方程ax?bx?c?0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程ax?bx?c?0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程ax?bx?c?0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
高中数学 必修2知识点 第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE?ABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的
截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥P?ABCDE
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的
平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台P?ABCDE
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤：
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''''''''''''''''f(x)的图象联系起来，并利用函数的
222
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