高等数学试卷及答案

《高等数学》试卷A

一、填空题（每小题3分，共15分）

?1,|x|?1,?1.f(x)??0,|x|?1，g(x)?ex，则f(g(x))?________.

??1,|x|?1? 2.函数y?2x2?lnx在区间 ________是单调减少，在区间______是单调增加. 3.

?101?x2dx? ________.

x24.d?xsint2dt? ________.

1的通解为________. y2x?e5.微分方程y'?

二、选择题（每小题3分，共15分） 1. 设函数f(x)?x在(??,??)内连续,且limf(x)?0,则常数a,b满足( ).

x???a?ebx(A)a?0,b?0 (B)a?0,b?0 (C)a?0,b?0 (D)a?0,b?0

2.设当x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比e?1高阶的无穷小，则正整数n等于( ).

(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 3.函数f(x)?xe的n阶导数fxnnx2(n)(x)( ).

(A)在x??(n?1)处取极大值 (B)在x??(n?1)处取极小值 (C)在x??n处取极大值 (D)在x??n处取极小值

4.半径为R的半球形水池已装满水，要将水全部吸出水池，需做功为( ). (A)

??R0π(R?y)dy (B)?π ydy (C)?π y(R?y)dy (D)?π y3dy

00022R2R22R5.下列反常积分收敛的是( ). (A)

三、计算下列极限（每小题6分，共12分）

????lnx1dx (B)?dx (C)

exxlnxe???e??11dxdx (D)2?exlnxxlnx

?2?1.lim?arctanx?. x???π??

2.已知两曲线y?f(x)与y?x?arctanx1edt在点(0,0)处的切线相同,求极限limnf().

?t20

四、求下列各题中的导数（每小题6分，共12分）

1.???x?ln1?t2,d2y?. ?y?arctant.dx2

2.已知函数y?y(x)由方程ey?6xy?x2?1?0确定，求y''(0).

五、计算下列各题（每小题6分，共12分）. 1．设f(sin2x)?xsinx,求?f(x)dx.

2.?exdx.

n??n 六、曲线弧y?sinx(0?x?π)上哪一点处的曲率半径最小？并求该点处的曲率半径.(10分)

?xf(x)dx??0f(x),x?0,求F(x)的导数,并讨论F'(x)的连续性. ?1,F(x)??七、设f(x)在[0,1]上连续，且limxx?0x??0,x?0.(10分)

八、过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D(8分) （1） 求D的面积A;

（2） 求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V .

九、证明题（6分）

在区间(??,??)内，方程|x|?|x|?cosx?0有且仅有两个实根.

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