2019届高考全国统一考试理科数学模拟试卷3套(含解析)

（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a?1?a?4?个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值． 【答案】（1）7；（2）

169． 【解析】（1）∵一次喷洒4个单位的去污剂，

??4??1?x??,0?x?4∴空气中释放的浓度为f?x?????8?，

?36??x?2,4?x?10当0?x?4时，4???1+x?8???4，解得x?0，∴0?x?4，

当4?x?10时，

36x?2?4，解得x?7，∴4?x?7，综上得0?x?7， 即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天． （2）设从第一次喷洒起，经x?6?x?10?天， 浓度g?x??2?9x?2?a??x?6?18a?x?2?18a?x?2?9?1?8???x?2?8?2x?2?8?24a?3a?4， 即a?169，a??1,4?，∴169?a?4， 当a?169时，18x?2?2?x?2?9??x?2?2?92，x?2?9，∴x=7满足题意， ∴a的最小值为169．

20．（12分）已知函数f?x??lnx?ax?x2．

（1）求函数f?x?的单调区间；

（2）设函数g?x??xlnx?1?f?x?，若x???1?2,?????时，g?x??0恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）当a?0时，f?x?的增区间为?0,???；当a?0时，f?x?的减区间为?0,?1?1?2a?，增区间为??1?1?2a,???；（2）??1????,2??．

【解析】（1）f?x?的定义域为?0,???，f??x??1x?a1x2?2x?2ax2?2?2x2，

令f??x??0，则x2?2x?2a?0，??4?8a?0时，

即a??12，方程两根为x?2?4?8a1?2??1?1?2a，x2??1+1?2a，x1?x2??2，x1x2??2a，

①当a??12时，??0，f??x??0恒成立，f?x?的增区间为?0,???；

②当?12?a?0时，x1x2??2a?0，x1?0，x2?0，

x??0,???时，f??x??0，f?x?的增区间为?0,???；

③当a?0时，x1?0，x2?0，当x??0,x2?时，f??x??0，f?x?单调递减， 当x??x2,+??时，f??x??0，单调递增； 综上，当a?0时，f?x?的增区间为?0,???；

当a?0时，f?x?的减区间为?0,?1?1?2a?，增区间为??1?1?2a,???．

（2）x???1?2,????ax2x2?时，g?x??0恒成立，即xlnx?lnx?x?2?1?0，∴a?xlnx?xlnx?2?x，

?x??xlnx?xlnx?x2令h2?1?2?x??x?2??，h??x??2xlnx?x?lnx?1?x?1，h??x???2x?1?lnx，

当x???1?2,1???时，h??x??0，h?x?单调递减；当x??1,+??时，h??x??0，h?x?单调递减； ∴h?x?h?1??11?1?min?2，∴a?2，则实数a的取值范围时????,2??．

21．（12分）已知函数f?x??ex，g?x??lnx．

（1）求函数y?g?x?在点A?1,0?处的切线方程；

（2）若存在x2??0,+??，对任意x1??0,???，使得f?x1??f?x2??ax1?ax2恒成立，求实数a的取值范围；

（3）已知函数h?x??f?x?a??g?x?a??a?0?区间?0,???上的最小值为1，求实数a的值． 【答案】（1）y?x?1；（2）a?1；（3）12． 【解析】（1）g??x??1x，g??1??1，则函数y?g?x?在点A?1,0?处的切线方程为y?x?1； （2）设函数??x??f?x??ax，f?x1??f?x2??ax1?ax2存在x2??0,+??， 对任意x1??0,???恒成立，即??x??f?x??ax在?0,???上存在最小值，

??x??f?x??ax?ex?ax，???x??ex?a，

当a?1时，???x??0恒成立，??x?在?0,???上单调递增，无最小值； 当a?1时，x??0,lna?时，???x??0，??x?在?0,lna?上单调递减， x??lna,+??时，???x??0，??x?在?lna,+??上单调递增， x?lna时，??x?有最小值满足题意，∴实数a的取值范围是a?1；

（3）h?x??f?x?a??g?x?a??ex?a?ln?x?a??a?0?，h??x??ex?a?1x?a，

∵ex?a在区间?0,???上单调递增，

1x?a在区间?0,???上单调递减， 存在唯一的x0??0,???，使得h??x0??ex0?a?1x?0，即ex0?a?1（*）， 0?ax0?a函数h??x??ex?a?1x?a在?0,???上单调递增， ∴x??0,x0?时，h??x??0，h(x)单调递减；x??x0,+??时，h??x??0，单调递增， ∴h?x?h?xx?amin?0??e0?ln?x0?a?，

由（*）式得h?x?1min?h?x0??x?a?ln?x0?a?， 01xa?ln?x0?a??1，显然x0?a?1是方程的解， 0?又∵y?1x?lnx是单调减函数， ∴方程

1x?ln?x0?a??1有且仅有唯一的解x0?a?1， 0?a把x10?1?a代入（*）式得，e1?2a?1，∴a?2，所求实数a的值为12．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系xoy中，已知曲线C??2cos?1、C2的参数方程分别为C1：??x??y?3sin???为参数?，

C?x?1?tcos?2：??t为参数?y?tsin??． （1）求曲线C1、C2的普通方程；

（2）已知点P?1,0?，若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，求PA?PB的取值范围． 22【答案】（1）C4?y1：

x3?1，C2：x?1；

（2）?3,4?． （1）曲线Cx2y2【解析】1的普通方程为：4?3?1，

当???2?k?，k?Z时，曲线C2的普通方程为：y?xtan??tan?， 当???2?k?，k?Z时，曲线C2的普通方程为：x?1； （或曲线C2：xsin??ycos??sin??0）

（2）将C?x?1?tcos?222：??y?tsin??t为参数?代入Cxy1：4?3?1化简整理得：

?sin2??3?t2?6tcos??9?0，

设A，B对应的参数分别为t?6cos??1，t2，t1?t2?sin2??3，t1t2?9sin2??3 则??36cos2??36?sin2??3??144?0恒成立，

∴PA?PB?t1?t2?t1?t2??t1?t2?2?4t1t2?12sin2??3，

∵sin2???0,1?，∴PA?PB??3,4?．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f?x??2x?1?x?1． （1）解不等式f?x??2；

（2）若不等式m?1?f?x??x?1?2x?3有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）???x?4?x?2?3??；（2）m??3或m?5．

?1??x?2,x???2【解析】（1）f?x??2x?1?x?1=??3x,?1?x?1， ?2??x?2,x?1??∴??x??1?2或????12?x?1或??x?1112??x?2?2??3x?2?x?2?2，解得?4?x??2或?2?x?3或无解，综上，不等式f?x??2的解集是??x?4?x?2??3??． （2）f?x??x?1?2x?3?2x?1?x?1?x?1?2x?3?2x?1?2x?3

?2x?1??2x?3??4，

当?12?x?32时等号成立不等式m?1?f?x??x?1?2x?3有解，

∴m?1???f?x??x?1?2x?3??min，

∴m?1?4，∴m?1??4或m?1?4，即m??3或m?5， ∴实数m的取值范围是m??3或m?5．

号位 封座 密 号不场考 订 装 号证考准 只 卷 名姓 此 级班

2019年高考全国统一招生模拟测试卷

理科数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1．设集合A??1,2?，B??1,2,3?，C??2,3,4?，则?AIB?UC?（ ） A．?1,2,3? B．?1,2,4? C．?2,3,4? D．?1,2,3,4?

【答案】D

2．复数z??3?2i?i的共轭复数z?（ ） A．2?3i B．?2?3i

C．2?3i

D．?2?3i

【答案】C

3．如下所示，茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x，y的值分别为（ ）

甲组乙组 90x 2197 425 y 8 4A．3，6 B．3，7 C．2，6

D．2，7

【答案】B

4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2?a5?0，则S5S?（ ） 2A．?11 B．?8

C．5

D．11

【答案】A

5．已知“x?2”是“x2?a?a?R?”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A．???,4? B．?4,???

C．(0,4]

D．(??,4]

【答案】D

6．一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

?y7．设变量x，y满足约束条件??x?x?y?2，则目标函数z?2x?y的最小值为（ ）

??y?3x?6A．3

B．2 C．1

D．?1

【答案】A 8．已知直线x??是函数f?x??sin?2x???的图像的一个对称轴，其中???0,2??，且f?6????2???f???，则f?x?的单调递增区间是（ ） A．???6,k??2??k???3???k?Z?

B．?????k??3,k???6???k?Z?

C．??k?,k?????2???k?Z?

D．????k??2,k?????k?Z?

【答案】B

9．点A，B，C，D，E是半径为5的球面上五点，A，B，C，D四点组成边长为42的正方形，则四棱锥E?ABCD体积最大值为（ ） A．

2563 B．256 C．

643 D．64

【答案】A

10．设a?23，b?logc?log34，25，则a，b，c的大小关系为（ 3）

A．b?c?a B．b?a?c C．a?b?c D．a?c?b

【答案】B

x2a?y211．若双曲线C：22b2?1?a?0,b?0?的一条渐近线被圆?x?2??y2?4所截得的弦长为23，

则C的离心率为（ ） A．2 B．3 C．2 D．233 【答案】D

12．已知函数f?x??2exsin?????99??x?4??，x????2,101??2??，过点P????1?2,0???作函数f?x?图像的切线，n切点坐标为?x1,y1?，?x2,y2?，L，?xn,yn?，则?xi?（ ）

i?1A．49? B．??? C．??? D．????

【答案】B

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知向量a，b满足a?1，a?b?2，则a??a?2b??___________． 【答案】5

814．???x?2?x??的展开式中，x的系数为_______________．

【答案】112

15．如图所示，在△ABC中，AD?DB，F在线段CD，设uuABur?a，uACuur?b，uuuAFr?xa?yb，则14x?y的最小值为__________．

【答案】6?42 16．设实数??0，若对任意的x??0,???，不等式e?x?lnx??0恒成立，则?的取值范围是________．

【答案】??1e

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，角A、B、C成等差数列，b?13． （1）若3sinC?4sinA，求c的值； （2）求a?c的最大值． 【答案】（1）4；（2）213．

【解析】（1）由角A，B，C成等差数列，得2B?A?C，又A?B?C??，得B??3． 又由正弦定理，3sinC?4sinA，得3c?4a，即a?34c，

由余弦定理，得b2?a2?c2?2accosB， ?3c?2即13??31?4???c2?2?4c?c?2，

解得c?4． （2）由正弦定理得

acb2sinA?sinC?sinB?133， ∴a?2132133sinA，c?3sinC，

a?c?213133?sinA?sinC??23??sinA?sin?A?B???

?213?3??sinA?sin???A????????3????213sin??A?6??， 由0?A?2?3，知当A??6??2，即A??3时，?a?c?max?213． 18．（12分）某地区高考实行新方案，规定:语文，数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理，化学，生物，历史，地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定;否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理，化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理，化学和生物”

为其选考方案．

某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考

科目人数如下表：

性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考方案确定的有8人 8 8 4 2 1 1 男生 选考方案待确定的有6人 4 3 0 1 0 0