选考方案确定的有10人 8 9 6 3 3 1 女生 选考方案待确定的有6人 5 4 1 0 0 1 （1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?
（2）假设男生，女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；
（3）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量????1,2名男生选考方案相同?2,2名男生选考方案不同，求?的
分布列及数学期望． 【答案】（1）140；（2）
340；（3）见解析，74．
【解析】（1）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人， 选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人． 该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
1018?1830?420?140人． （2）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人， 选考方案中含有历史学科的概率为
28?14
； 选考方案确定的10位女生中选出1人含有历史学科的概率为310，
∴该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为14?310?340．
（3）由数据可选，选考方案确定的男生 中有4人选择物理，化学和生物;有2人选择物理，化学和历史，有1人选择物理化学和地理;有1人选择物理，化学和政治． 由已知得?的取值为1，2．
2P???1??C24?C2?1C1?11?1C2;P???2??4C2?C2?1?C2?2?1384C2?． 84∴?的分布列为
∴E??1?14?2?34?74．
19．（12分）如图在四面体D?ABC中，已知AD?BC?AC?5，AB?DC?6，sin?DAB?45，
M为线段AB上的动点(不包含端点)．
DC
AMB（1）证明：AB?CD；
（2）求二面角D?MC?B的余弦值的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）??99???16，16??．
【解析】（1）证明：作取AB中点O，连DO，CO．由AC?BC，O为中点，故OC?AB．由AD?5，AO?3，sin?DAB?45知OD?4，故OD?AB， ∴AB?平面DOC，CD在平面DOC内，∴AB?CD．
DC
AOMB（2）由（1）知AB?平面DOC，AB在平面ABC内，故平面DOC?平面ABC． 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，Oz垂直平面ABC，建立空间直角坐标系O?xyz．
故O?0,0,0?，B?3,0,0?，C?0,4,0?，A??3,0,0?，
zDCyD
6A4OMEO4CBx设OM?m??3?m?3?，则M?m,0,0?，
137在△DOC内，作DE?OC，连EO，由OD?OC?4，DC?6，解得EO?2，DE?2， 故D???0,?1,37??22??． ?设平面DMC的法向量为n??x,y,z?uu，则CDur????0,?9,37?uuur?22??，CM??m,?4,0??， ?uuur?9?4由??n?CD?0??37z?0?x?my?uuur，得?y???n?CM?0?22，得??mx?4y?0?3， ??z?7y令y?7m，得n??47,7m,3m?． 平面MCB的法向量为m??0,0,1?，∴
cosa,b?|3m|112?16m2?3112m2?16， 39由?3?m?3，故
cosa,b?112?16，
32?16设?为二面角D?MC?B的平面角，∴?916?cos??916． 20．（12分）已知椭圆C:9x2?y2?m2?m?0?，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C交于A、
B两点，线段AB的中点为M．
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（2）若l过点??m??3,m??，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求l的斜率；若不能，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形OAPB能为平行四边形，当l的斜率为4?7或4?7时，四边形OAPB为平行四边形．
【解析】（1）设直线y?kx?b?k?0,b?0?，A?x1,y1?，B?x2,y2?，M?xM,yM?， 将y?kx?b代入9x2?y2?m2，得?k2?9?x2?2kbx?b2?m2?0，
故xx1?x2kb9byM9M?2??k2?9，yM?kxM?b?k2?9，于是直线OM的斜率kOM?x??， Mk即kOM?k??9，所是命题得证． （2）四边形OAPB能为平行四边形．
∵直线l过点??m?3,m???，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k?0且k?3．
由（1）得OM的方程为y??9kx．设点P的横坐标为xP．
?由??y??9x，得?xk2m2k2P??9x2?y2?m29k2?81，即xP??km3k2?9． 将点??mm?3?k?3,m???的坐标代入直线l的方程得b??3，
因此xmk?k?3?M?3?k2?9?，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，
即xmk?k?3?P?2xkmM．于是?3k2?9?2?3?k2?9?．解得k1?4?7，k2?4?7．
∵ki?0，ki?3，i?1，2，
∴当l的斜率为4?7或4?7时，四边形OAPB为平行四边形．
?ax221．（12分）设函数fx??xlnx?2?a?x?a?R?． （1）若函数f?x?有两个不同的极值点，求实数a的取值范围;
（2）若a?2，k?N，g?x??2?2x?x2，且当x?2时不等式k?x?2??g?x??f?x?恒成立，试求
k的最大值．
【答案】（1）??1??0,e??；（2）4．
【解析】（1）由题意知，函数f?x?的定义域为?0,???，f'?x??lnx?1?ax?1?lnx?ax， 令f'?x??0，可得lnx?ax?0，∴a?lnxx，令h?x??lnxx， 则由题可知直线y?a与函数h?x?的图像有两个不同的交点，h'?x??1?lnxx2， 令h'?x??0，得x?e，
可知h?x?在?0,e?上单调递增，在?e,???上单调递减，h?x?1max?h?e??e， 当x趋向于??时，h?x?趋向于零，故实数a的取值范围为??1??0,e??．
（2）当a?2时，f?x??xlnx?x2?2?x，k?x?2??g?x??f?x?，
即k?x?2??xlnx?x， ∵x?2，∴k?xlnx?xxx?2，令F?x??lnx?xx?2?x?2?， 则F'?x??x?4?2lnx?x?2?2，令m?x??x?4?2lnx?x?2?，
则m'?x??1?2x?0，∴m?x?在?2,???上单调递增， m?8??4?2ln8?4?lne2?4?4?0，m?10??6?2ln10?6?2lne3?6?6?0，
故函数m?x?在?8,10?上唯一的零点x0，即x0?4?2lnx0?0， 故当2?x?x0时，m?x??0，即F'?x??0， 当x0?x时，F'?0x??0，∴F?x?xxx?x?4?0?1?0ln0?x0?2?min?F?x?0??x?2?x?x0， 00?22∴k?x02，∵xx0??8,10?，∴02??4,5?，∴k的最大值为4．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，直线l的参数方程为???x?t?1??y?3t?1(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??2cos?1?cos2?．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
（2）已知与直线l平行的直线l?过点M?2,0?，且与曲线C交于A，B两点，试求MA?MB． 【答案】（1）y?3?x?1??1，y2?2x；（2）163．
【解析】（1）把直线l的参数方程化为普通方程为y?3?x?1??1． 由??2cos?1?cos2?，可得
?2?1?cos2???2?cos?， ∴曲线C的直角坐标方程为y2?2x． （2）直线l的倾斜角为
?3，∴直线l?的倾斜角也为?3， 又直线l?过点M?2,0?， ?1∴直线l?的参数方程为??x?2??2t?(t?为参数)， ?3??y?2t?将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t?2?4t??16?0， 设点A，B对应的参数分别为t1?，t?2． 由一元二次方程的根与系数的关系知t1641?t?2??3，t1??t2??3． ∴MA?MB?163．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f?x??x?x?1． （1）解不等式f?x??3；
（2）若f?x??f?y??2，求x?y的取值范围． 【答案】（1）???,?1?U?2,???；（2）?0,2?．
【解析】（1）当x?0时，原不等式化为?x?1?x?3，解得x??1， 结合x?0，得x??1．
当0?x?1时，原不等式化为x?1?x?3，无解．
当x?1时，原不等式化为x?x?1?3，解得x?2，结合x?1，得x?2．综上，原不等式的解集为???,?1?U?2,???； （2）f?x??f?y??2，即x?x?1?y?y?1?2， 又x?x?1?x??x?1??1，y?y?1?y??y?1??1， ∴x?x?1?y?y?1?2．
∴x?x?1?y?y?1?2，且x?x?1?y?y?1?1， ∴0?x?1，0?y?1，∴0?x?y?2．
2019年高考全国统一招生模拟测试卷
座位号 【答案】C
5．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有（ ） A．140种 【答案】B
6．已知平面向量a，b的夹角为
B．70种
C．35种
D．84种
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂π1，且a?1，b?，则a?2b?（ ） 32C．2
D．
封 A．1 B．3 3 密 号不场考 订 装 号证考准 只 卷 名姓 此 级班黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设复数z满足z?2z?6?i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
2．已知全集U?R，N????x18?2x?1??，?M??xy?ln??x?1??，
则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．?x?3?x??1? B．?x?3?x?0? C．?x?1?x?0? D．?xx??3?
【答案】C
3．设等差数列?an?的前n项和为Sn，点?a1008,a1010?在直线x?y?2?0上，则S2017?（ ） A．4034 B．2017 C．1008 D．1010
【答案】B
4．设a?log?132，b?ln2，c?52，则（ ） A．a?b?c
B．b?c?a
C．c?a?b
D．c?b?a
2【答案】A
7．如图给出的是计算1?113?5??12017的值的一个程序框图，则判断框内可以填入的条件是（ ）
A．i?1008? B．i?1009?
C．i?1010?
D．i?1011?
【答案】B
8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为（ ）
A．23 B．4
C．6
D．42 【答案】C
?x?y?1?9．若实数x，y错误！未找到引用源。满足不等式组?0?x?y?1?0错误！未找到引用源。，则目标
??2x?y?4?0函数z?x?y?2x?4错误！未找到引用源。的最大值是（ ）
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