A．1
B．?14
C．?5
54D．
4 【答案】B错误！未找到引用源。 10．已知f?x??sin??2019x?π??c?os20??19x?π??6??3??的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x 总有f?x1??f?x??f?x2?成立，则Ax1?x2的最小值为（ ）
A．
πB．
4π2019 2019C．2πD．π
2019
4038
【答案】C
．已知双曲线x2y211a2?b2?1?a,b?0?，过其右焦点F且平行于一条渐近线的直线l与另一条渐近线交
于点A，l与双曲线交于点B，若BF?2AB，则双曲线的离心率为（ ） A．233 B．3 C．2 D．2
【答案】B
12．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，边长为6，面A1DB与面A1DC1的重心分别为E、F，求正方体外接球被EF所在直线截的弦长为（ ）
A．354 B．352 C．704 D．702 【答案】D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．
13．若a，b为正实数，且a?b?1，则12a?2b的最小值为________．
【答案】
92 ?n14．等差数列a1n?的前n项和为Sn，a3?3，S4?10，则??____________． k?1Sk
【答案】
2nn?1 15．已知AB为圆O:x2?y2?1的直径，点P为椭圆x2y24?3?1上一动点，则PA?PB的最小值为
_______． 【答案】2
16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，所对的角分别为A，B，C，且满足
113a?b?b?c?a?b?c，且△ABC的外接圆的面积为3π，则f?x??cos2x?4?a?c?sinx?1的最大值的取值范围为____________． 【答案】?12,24?
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知等差数列?an?中，2a2?a3?a5?20，且前10项和S10?100． （1）求数列?an?的通项公式； （2）若b1n?a，求数列?bn?的前n项和． nan?1【答案】（1）an?2n?1；（2）Tn?n2n?1． 【解析】（1）设等差数列?an?的首项为a1，公差为d． ?2a2?a3?a5?4a1?8d?20由已知得????10a1?10?9，解得??a1?12d?10a1?45d?100?d?2， 所以数列?an?的通项公式为an?1?2?n?1??2n?1．
（2）b1n??2n?1??2n?1??1?11?2??2n?1?2n?1??， 所以T1?1111?1?n?2??1?3?3?5??12n?1?2n?1???2??1?1?2n?1???n2n?1． 18．（12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间?30,150?内，其频率分布直方图如图．
（1）求获得复赛资格的人数；
（2）从初赛得分在区间?110,150?的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间?110,130?与?130,150?各抽取多少人？
（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间?130,150?中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望E?X?．
【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）E?X??67．
【解析】（1）由题意知?90,110?之间的频率为：1?20??0.0025?0.005?0.0075?2?0.0125??0.3， 0.3??0.0125?0.0050??20?0.65，获得参赛资格的人数为800?0.65?520人．
（2）在区间?110,130?与?130,150?，0.0125:0.0050?5:2， 在区间?110,150?的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间?110,130?与?130,150?各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X的可能取值为0，1，2，则： 302112P?X?0??C5C2?2；P?X?1??C5C24C5C21C33?；P?X?2??3?； 77C77C77故X的分布列为：
X 0 1 2 P 2 47 177 E?X??0?24167?1?7?2?7?7．
19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM?平面
ABCD，?DAB?60?，AD?2，AM?1，E是AB中点．
（1）求证：AN∥平面MEC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P?EC?D的大小为
π6？若存在，求出AP的长h； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，h?77． 【解析】（1）证明：设CM与BN交于F，连接EF．
由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．
因为E是AB的中点，所以AN∥EF．又EF?平面MEC，AN?平面MEC， 所以AN∥平面MEC．
（2）由于四边形ABCD是菱形，E是AB中点，可得DE?AB． 又四边形ADNM是矩形，面ADNM?面ABCD，
DN?面ABCD，
如图建立空间直角坐标系D?xyz，
则D?0,0,0?，E?3,0,0?，C?0,2,0?，P?3,?1,h?，CE??3,?2,0?，EP??0,?1,h?， 设平面PEC的法向量为n??x,y,z?，则???CE?n1?0，??3x?2y?01???EP?n1?0???y?hz?0，
令y?3h，n1??2h,3h,3?，又平面ECD的法向量n2??0,0,1?，cos?nn1?n21,n2??n?3?3，解得h?7?11n27h2?327，
在线段AM上存在点P，当h?77时使二面角P?EC?D的大小为π6． ：x2y220．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C6a2?b2?1?a?b?0?的短轴长为22，离心率3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的上顶点，点M为x轴正半轴上一点，过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N，若?AMN?60?，求点M的坐标． 【答案】（1）椭圆C:x26?y22?1；（2）M??6?,0??3??． ?【解析】（1）因为椭圆C的短轴长为22，离心率为63， ??2b?22?a所以??c?6解得??6??b?2，所以椭圆C的方程为x2?y2?1．
?a3??c?262?a2?b2?c2??（2）因为A为椭圆C的上顶点，所以A?0,2?． 设M?m,0??m?0?，则kAM??2m．又AM?AN，所以kmAN?2， 所以直线AN的方程为y?m2x?2．
??y?mx?2由??222?12mx2消去y整理得?2?3m?x?12mx?0，所以x， ?2N?3m2?2??6?y2?1所以AN????m?2?2??1????2????xN?xA?m2?12m， ?23m2?2在直角△AMN中，由?AMN?60?，得AN?3AM，
所以2?m2?12m23m2?2?3?2?m2，解得m?63，所以点M的坐标为??6???3,0??． ?21．（12分）已知函数f?x??ax2?bx?xlnx在?1,f?1??处的切线方程为3x?y?2?0． （1）求实数a，b的值；
（2）设g?x??x2?x，若k?Z，且k?x?2??f?x??g?x?对任意的x?2恒成立，求k的最大值． 【答案】（1）a?1，b?0；（2）4． 【解析】（1）f??x??2ax?b?1?lnx， 所以2a?b?1?3且a?b?1，解得a?1，b?0． （2）由（1）与题意知k?f?x??g?x?x?xlnxx?2?x?2对任意的x?2恒成立， 设h?x??x?xlnxx?4?2lnxx?2?x?2?，则h??x???x?2?2，令m?x??x?4?2lnx?x?2?，
则m??x??1?2x?x?2x?0，所以函数m?x?为?2,???上的增函数． 因为m?8??4?2ln8?4?2lne2?4?4?0，m?10??6?2ln10?6?2lne3?6?6?0， 所以函数m?x?在?8,10?上有唯一零点x0，即有x0?4?2lnx0?0成立， 所以x0?4?2lnx0?0，
故当2?x?x0时，m?x??0，即h??x??0； 当x0?x时，m?x??0，即h??x??0，
所以函数h?x?在?2,x0?上单调递减，在?x0,???上单调递增，
x?x0?4?所以h?x?xx0?1?0?0lnx0?2?xmin?h?x?0??x??x0，所以k?02，因为x0??8,10?， 0?2x0?22所以x02??4,5?，又因k?Z所以k最大值为4．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，直线l的参数方程是???x?t?y?3t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为
?极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
?2cos2???2sin2??2?sin??3?0．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求AB． 【答案】（1）直线l极坐标：??π3???R?；
（2）AB?15． 【解析】（1）消去参数得直线l的直角坐标方程：y?3x，
由??x??cos?代入得?y??sin??sin??3?cos????ππ4π3???R?也可以是：??3或??3???0?．
??2cos2???2sin2??2?sin??3?0（2）??得?2?3??3?0， ?π???3设A????π??π?1,3??，B???2,3??，则AB??1??2???1??22??4?1?2?15．
（若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f?x??x?x?3． （1）解不等式f?x?2??x?0；
（2）若关于x的不等式f?x??a2?2a在R上的解集为R，求实数a的取值范围． 【答案】（1）?x?3?x?1或x?3?；（2）a??1或a?3． 【解析】（1）不等式f?x?2??x?0可化为x?2?x?x?1， 当x??1时，??x?2??x???x?1?，解得x??3，即?3?x??1； 当?1?x?2时，??x?2??x?x?1，解得x?1，即?1?x?1； 当x?2时，x?2?x?x?1，解得x?3，即x?3，
综上所述，不等式f?x?2??x?0的解集为?x?3?x?1或x?3?． （2）由不等式f?x??a2?2a可得x?x?3?a2?2a， x?x?3?x??x?3??3，a2?2a?3，即a2?2a?3?0，
解得a??1或a?3，
故实数a的取值范围是a??1或a?3．
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