2012-2017年高考文科数学真题汇编：解三角形高考题老师版

bcbc2035又由正弦定理得sinBsinC?sinA?sinA?2sin2A???. aaa214731．(2013江西理) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B＝0.(1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． π【简解】(1)由已知sin Asin B－3sin Acos B＝0，sin B－3cos B＝0，tan B＝3， B＝. 3a＋c?211(2) b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3?＝(a＋c)2＝，等号可以成立 4?2?411∴b≥. 又a＋c>b，∴b<1，∴≤b<1. 2232.（2013四川）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2A－Bcos B－sin(A－B)sin B＋23→→cos(A＋C)＝－.(1)求cos A的值； (2)若a＝42，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影． 5A－B3【简解】(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得 2533[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－. 5533则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－. 55abbsin A342(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c2－2×5c×??5?42→→→解得c＝1或c＝－7(舍去)．故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B＝ 22a 33.（2017新课标1理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．3sinA（1）求sinBsinC； （2）若6cosBcosC?1，a?3，求△ABC的周长． 13a2a2122.且S?bcsinA∴?bcsinA∴a?bcsinA∵由正弦定理【解析】（1）∵△ABC面积S?223sinA3sinA232得sin2A?sinBsinCsin2A，由sinA?0得sinBsinC?. 2321（2）由（1）得sinBsinC?，cosBcosC?∵A?B?C?π 361∴cosA?cos?π?B?C???cos?B?C??sinBsinC?cosBcosC? 213又∵A??0，π?∴A?60?，sinA?，cosA? 22 aa?sinB，c??sinC 由余弦定理得a2?b2?c2?bc?9 ①由正弦定理得b?sinAsinA 新优学教育辅导教案 第 6 页（共 10 页）

a2∴bc?2?sinBsinC?8 ②由①②得b?c?33∴a?b?c?3?33，即△ABC周长为3?33 sinA34、（2014山东文）?ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c. 已知a?3,cosA?（Ｉ）求b的值；（II）求?ABC的面积. 【简解】（I）在?ABC中，由题意知sinA?1?cosA?26?,B?A?. 32?3，又因为B?A?， 233?63?32. 33所有sinB?sin(A??2)?cosA?asinB6?，由正弦定理可得b?sinA3（II）由B?A??2得cosB?cos(A??2)??sinA??3，由A?B?C??,得C???(A?B). 333661?(?)???. 33333所以sinC?sin[??(A?B)]?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?因此，?ABC的面积S?11132. absinC??3?32??2232235、(2015新标1文) 已知a,b,c分别是?ABC内角A,B,C的对边，sinB?2sinAsinC. （I）若a?b，求cosB; （II）若B?90，且a?2, 求?ABC的面积. a?c2?b212解：（I）由题设及正弦定理可得b=2ac.又a=b，可得cosB== ……6分 42ac222（II）由（I）知b=2ac.因为B=90，由勾股定理得a?c=b. 22o故a?c=2ac，的c=a=2.所以△ABC的面积为1. ……12分 36、（2015年新课标2文）△ABC中D是BC上的点,AD平分?BAC,BD=2DC. （I）求22sin?B ； （II）若?BAC?60,求?B. sin?C 新优学教育辅导教案 第 7 页（共 10 页）

37、（2016年四川文）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且222（I）证明：sinAsinB=sinC； （II）若b?c?a?cosAcosBsinC??。 abc6bc，求tanB。 5试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设abc???k(k?0) 则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.sinAsinBsinC代入cosAcosBsinCcosAcosBsinC????中，有，可变形得sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B). abcksinAksinBksinA在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，所以sin A sin B=sin C. 64b2?c2?a23（Ⅱ）由已知，b+c–a=bc，根据余弦定理，有cosA??.所以sin A=1?cos2A?. 552bc5222由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，所以sinB443sin B=cos B+sin B，故tan B==4. 555cosB38、（2016年高考天津文）在?ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知asin2B?3bsinA. (Ⅰ)求B； (Ⅱ)若cosA?1，求sinC的值. 3 新优学教育辅导教案 第 8 页（共 10 页）

39、 (2017年新课标Ⅲ卷理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2． （1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD? AC,求△ABD的面积． .解：（1）因sinA?3cosA?0?sinA??3cosA?tanA??3 A??0,???A?2?由余弦定3理a2?b2?c2?2bccosA，代入a?27，b?2得 c2?2c?24?0c??6或c?4（合法）?c?4 （2）由（1）知c?4c2?a2?b2?2abcosc?16?28?4?2?27?2?cosc?cosc?27 7∴sinC= ，∴tanC= 在Rt△ACD中，tanC= ，∴AD= ，∴S△ACD= AC?AD= ×2× = ，∵S△ABC= AB?AC?sin∠BAD= ×4×2× =2 ，∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2 ﹣ = 2 40、( 2017年新课标Ⅱ卷理) ?ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知sin(A?C)?8sinB。 2（1）求cosB； （2）若a?c?6，?ABC的面积为2，求b． 【答案】（1）cosB?15（2）2 17341、 (2017年北京卷理) 在△ABC中，?A =60°，c=7a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积. 【答案】（1）根据正弦定理 acC×sinA33333 =?sinC==?sin60。=?=sinAsinCa77214（2）当a=7时c=33a=3 sinC=7143 △ABC中 143c＜a ?cosC?1?sin2C?sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA?cosC+cosA?sinC =3313333 ?+?=21421414 新优学教育辅导教案 第 9 页（共 10 页）

?S△ABC=1139ac?sinB=?7?3?3=3 2214442、(2017年天津卷文)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知asinA?4bsinB，ac?5(a2?b2?c2)． （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求sin(2B?A)的值． ab?，得a?2b． sinAsinB5?ac222b?c?a55222???由ac?5(a?b?c)及余弦定理，得cosA?． 2bcac5【解析】（Ⅰ）由asinA?4bsinB及（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA?25asinA5，代入asinA?4bsinB，得sinB?． ?54b525． 5由（Ⅰ）知A为钝角，所以cosB?1?sin2B?于是sin2B?2sinBcosB?432，cos2B?1?2sinB?， 55故sin(2B?A)?sin2BcosA?cos2BsinA? 4532525． ?(?)????55555

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