a
(1)求b的值；
(2)若角A是钝角，且c＝3，求b的取值范围．
解] (1)由题意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C，1分
∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin A cos C)， ∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C).3分 ∵A＋B＋C＝π，4分 a
∴sin A＝2sin B，∴b＝2.5分
b2＋9－a2b2＋9－4b29－3b2
(2)由余弦定理得cos A＝2b·＝6b<0，
3＝6b∴b>3.①8分
∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，②10分 由①②得b的取值范围是(3，3).12分
B组 名校冲刺]
一、选择题
1．(2016·安庆二模)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 π A 由A＋B＋C＝π，A＋B π1 2．(2016·全国丙卷)在△ABC中，B＝4，BC边上的高等于3BC，则cos A＝( ) 310A.10 10C.－10 10B.10 310D.－10 C 法一：设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 1112 则由题意得S△ABC＝2a·a＝acsin B，∴c＝ 323a. 22255 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋9a2－2×a×3a×2＝9a2，∴b＝3a. 52222 a＋a－a99b＋c－a10 ∴cos A＝2bc＝＝－10.故选C. 522×3a×3a2 2 2 2 法二：同法一得c＝3a. 2π 由正弦定理得sin C＝3sin A, 又B＝4， 2222?3π? ∴sin C＝sin?4－A?＝3sin A，即2cos A＋2sin A＝3sin A，∴tan A＝－3， ??∴A为钝角． 11 又∵1＋tan2A＝cos2A，∴cos2A＝10， 10 ∴cos A＝－10.故选C.] 3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C＝( ) A．4∶3∶2 C.5∶4∶3 D ∵A>B>C，∴a>b>c. 又∵a，b，c为连续的三个正整数， ∴设a＝n＋1，b＝n，c＝n－1(n≥2，n∈N*)． 3b ∵3b＝20acos A，∴20a＝cos A， 222 3bb＋c－a∴20a＝ 2bc， B.5∶6∶7 D.6∶5∶4 n2＋?n－1?2－?n＋1?23n ＝， 20?n＋1?2n?n－1?即 n?n－4?3n ＝， 20?n＋1?2n?n－1? 化简得7n2－27n－40＝0，(n－5)(7n＋8)＝0， 8?? ∴n＝5?n＝－7舍?. ?? abc 又∵sin A＝sin B＝sin C， ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4. 故选D.] 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝3acos C，则sin A＋sin B的最大值是( ) A．1 C.3 B.2 D.3 D ∵csin A＝3acos C，∴sin Csin A＝3sin Acos C. ∵sin A≠0，∴tan C＝3， π∵0＜C＜π，∴C＝3， π?3?2π?3? ∴sin A＋sin B＝sin A＋sin?3－A?＝2sin A＋2cos A＝3sin?A＋6?. ????2πππ5π ∵0＜A＜3，∴6＜A＋6＜6， π?3? ∴2＜3sin?A＋6?≤3， ?? ∴sin A＋sin B的最大值为3.故选D.] 二、填空题 5．(2016·忻州一中联考)已知在△ABC中，B＝2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4∶3的两部分，则cos A＝__________. 2 由题意可知S△ACD∶S△BCD＝4∶3， 3 ∴AD∶DB＝4∶3，AC∶BC＝4∶3，在△ABC中，由正弦定理得 4 sin B＝3sin A， 42 又B＝2A，∴sin 2A＝3sin A，∴cos A＝3.] 6．(2016·太原二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若∠B＝∠C，且7a2＋b2＋c2＝43，则△ABC面积的最大值为__________. 【导学号：85952016】 5 法一：由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝43，得7a2＋2b2＝43，5 a2＋b2－c2a 则2b＝43－7a，由余弦定理得cos C＝2ab＝2b，所以sin C＝1－cos2C＝ 2 2 4b2－a283－15a283－15a2111 ，则△ABC的面积为S＝2absin C＝2ab×＝4 2b＝2b2b15a2＋?83－15a2?11122a?83－15a?＝15a?83－15a?≤×＝ 2415415415 2 2 5835 ×43＝5，当且仅当a2＝30时取等号，则△ABC的面积的最大值为5. 法二：由∠B＝∠C得b＝c，所以7a2＋b2＋c2＝43，即为7a2＋2c2＝43，则1 △ABC面积为2a 5为5.] 三、解答题 7．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足 sin B＋sin C ＝ sin A a211835c－4＝·15a2?4c2－a2?≤×2＝5，所以最大值415415 2 2－cos B－cos Cπ???π? 0，，函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间?3?上单调递增，在区间?3，π?上 cos A????单调递减． (1)证明：b＋c＝2a； ?π?(2)若f?9?＝cos A，证明：△ABC为等边三角形． ??证明] (1)∵＝ sin B＋sin C sin A 2－cos B－cos C ， cos A ∴sin Bcos A＋sin Ccos A＝2sin A－cos Bsin A－cos Csin A，2分 ∴sin Bcos A＋cos Bsin A＋sin Ccos A＋cos Csin A＝2sin A，4分 sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sin A， sin C＋sin B＝2sin A， ∴b＋c＝2a.6分 2π4π3 (2)由题意知，ω＝3，解得ω＝2，7分 π1?π? ∵f?9?＝sin 6＝2＝cos A，A∈(0，π)， ??
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