函数的奇偶性

多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2016-11-13

高三数学一轮复习——函数的奇偶性

函数的奇偶性、周期性是函数的重要性质，是高考命题热点之一，在考查时，常与其他性质(如单调性)综合在一起，从近几年各地区的高考信息可以看出考查多以客观题为主，一般为容易题，周期性与三角函数结合比较明显，但也常出现在抽象函数中，多为求值问题，以选择题或填空题形式出现． 一、要点精讲

1、函数的奇偶性的定义：

对于函数f(x)定义域内定义域内任意一个x，若有_____________ _____，则函数f(x)为奇函数；若有___________________，那么函数f(x)为偶函数. 2、奇偶函数的性质：

⑴ 定义域关于原点对称； ⑵ 偶函数的图象关于y轴对称； ⑶ 奇函数的图象关于原点对称；

⑷ 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇．

⑸ f(x)为偶函数?f(x)?f(|x|)． ⑹ 若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0． 3、判断函数奇偶性的途径： ⑴ 依据图象的对称性进行判断． ⑵ 依据常见函数奇偶性的结论进行判断．

⑶ 运用定义法判断函数奇偶性，首先考虑定义域是否关于原点对称，其次看f(－x)是否等于－f(x)或f(x)． ⑷对抽象函数奇偶性的判断，要注意挖掘函数“原形”，采用“赋值”等策略． 4、周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期．

(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).

5.函数周期性三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a；(2)若f(x+a)=

1 11,则T=2a；(3)若f(x+a)=?,则T=2a; f?x?f?x?多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2016-11-13

二、基本训练

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.

(1)“a+b=0”是“函数f(x)在区间[a,b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件.( ) (2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )

(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称；若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )

(4)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( )

(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若在(-∞,0)上是减函数,则在(0,+∞)上是增函数.( ) (6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期. ( ) √×√√√×

2.（15北京）下列函数中为偶函数的是（ ）

22?xA．y?xsinxB．y?xcosxC．y?lnxD．y?2

3.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( )

A.4

B.3

C.2

D.1

4.已知函数f?x?是奇函数，当x?0时，f?x??x?1?x?；当x?0时，f?x?等于 （A）?x?1?x? （B）x?1?x? （C）?x?1?x? （D）x?1?x?

??4x2?2,?1?x?0?3?5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f?x???，则f??? . 1

?2??x,0?x?16、已知f?x??ax?bx?3a?b为偶函数，且定义域为[a?1,2a]，则a=，b=。

2解:定义域应关于原点对称，故有a-1=-2a，得a=三、典例解析

考点一：函数奇偶性的判断

1.（15年福建）下列函数为奇函数的是( ) A．y?1. 要使f(-x)=f(x)恒成立，应b=0. 3xB．y?sinxC．y?cosxD．y?ex?e?x

2.（15广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A．y?x?ex B．y?x?【答案】A．

3、设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数

2 11xC．y?2?xD．y?1?x2 x2多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2016-11-13

4、判断下列函数的奇偶性

1?x11?x2⑴ f(x)?； ⑵ f(x)?lgx2?lg2； ⑶ f(x)?(1?x)

x1?x|x?2|?22?lg(1?x2)lg(1?x2)?1?x?0??解：（1）由?2得定义域为(?1,0)?(0,1)，∴f(x)?奇 22x?(x?2)?2??|x?2|?2?0(2) 既是奇函数也是偶函数

1?x?0，得定义域为[?1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非奇非偶函数． 1?x?1,x?Qex－1

5、设Q为有理数集，函数f?x???，g(x)＝x，则函数h(x)＝f(x)·g(x)( )

e＋1

??1,x?CRQ（3）由

A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数也是偶函数D．既不是偶函数也不是奇函数

解：函数f(x)为偶函数．函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)， e－1e1－11－e∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∴h(1)＝f(1)·g(1)＝，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×－1＝，

e＋1e＋11＋e

－

h(－1)≠h(1)，∴函数h(x)不是偶函数．

2

??－x＋x，x>0，

6．已知函数f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a≠0)，h(x)＝?2则f(x)，h(x)的奇偶性依次为( )

?x＋x，x≤0，?

A．偶函数，奇函数 B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数 D．奇函数，奇函数

解：选D f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－f(x)，故f(x)为奇函数．

画出h(x)的图象可观察到它关于原点对称或当x>0时，－x<0，则h(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－h(x)，当x<0时－x>0，则h(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－h(x)．x＝0时，h(0)＝0，故h(x)为奇函数． 7.（15湖南）设函数f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)，则f(x)是（） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数

解：显然，f(x)定义域为(?1,1)，关于原点对称，又∵f(?x)?ln(1?x)?ln(1?x)??f(x)， ∴f(x)为奇函数，所以f(x)在(0,1)上是增函数，故选A 考点三：函数奇偶性的应用

函数奇偶性常见的应用问题有：

⑴ 利用奇、偶性求参数的取值或求代数式的值； ⑵ 利用奇、偶性求函数解析式或化简解析式．

3 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2016-11-13

4x?18.（2010重庆）函数f?x??的图象 x2A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称

4?x?11?4x??f(x)?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称 解：f(?x)?2?x2x9、若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，

f(x)=_______x(1?3x)

10. (2012上海)已知y?f(x)?x2是奇函数，且f(1)?1，若g(x)?f(x)?2，则g(?1)?。

解：因为y?f(x)?x2为奇函数，所以f(?x)?x2??f(x)?x2，所以f(?x)??f(x)?2x2，

g(1)?f(1)?2?3，

所以g(?1)?f(?1)?2??f(1)?2?2??f(1)??1。

11. 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)?g(x)?1x,则f(x)=．2, x?1x?1f(x)?x2?4x,则不等式f(x)?x的解

12．（2013江苏）已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x?0时,

集用区间表示为___________.

??5,0???5,???因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以易知x?0时，f(x)??x2?4x

解不等式得到f(x)?x的解集用区间表示为??5,0???5,?????5,0???5,??? 13.（15新课标1）若函数f(x)=xln（x+a?x2）为偶函数，则a=1

法一：由题知y?ln(x?a?x2)是奇函数，所以ln(x?a?x2)?ln(?x?a?x2) =ln(a?x2?x2)?lna?0，解得a=1.法二：f(0)=0 法三：f(1)=f(-1) 14．(2010课标)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( )

A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 解：f(x－2)>0等价于f(|x－2|)>0＝f(2)，又∵f(x)＝x3－8(x≥0)为增函数，∴|x－2|>2.解得x>4或x<0.

15．若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0］上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 解：由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示.

4