函数的奇偶性

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显然f(x)<0的解集为{x|-2

16、定义在R上的奇函数f（x）在(0，+∞)上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为 A.（－3，0）∪（0，3） C.（－3，0）∪（3，+∞）

B.（－∞，－3）∪（3，+∞）

D.（－∞，－3）∪（0，3）

解：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.

17．已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x?0时,

f(x)?x2?2x,若f(2?a2)?f?a?则实数的取值范

围是（ ）

A.???,?1???2,??? B.??1,2?C. ??2,1? D.???,?2???1,??? 18.（15新课标2）设函数f(x)?ln(1?|x|)?1,则使得f(x)?f(2x?1)成立的x的取值范围是（ ） 1?x2A．?,1? B．???,???1,??? C．??,? D．???,????,??? 解：由f(x)?ln(1?|x|)??1??3???1?3??11??33???1??13??3??1可知f?x?是偶函数,且在?0,???是增函数,所以 21?x1f?x??f?2x?1??f?x??f?2x?1??x?2x?1??x?1 .故选A.

3x?m19.（15天津）已知定义在R上的函数f?x??2?1（m为实数）为偶函数，

记a?f(log0.53),b?f?log25?,c?f?2m?，则a,b,c的大小关系为 （A）a?b?c（B）a?c?b（C）c?a?b（D）c?b?a 解：因为函数f?x??2x?m?1为偶函数，所以m?0，即f?x??2?1，所以

x1log21??a?f(log0.53)?f?log2??23?1?2log23?1?3?1?2,

3??b?f?log25??2log25?1?4,c?f?2m??f(0)?20?1?0所以c?a?b，故选C.

(x+1)2+sinx

20、(2012新课标)设函数f(x)=的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.

x2+1解：将函数化简，f(x)＝1＋

2x＋sin x2x＋sin x

，设g(x)＝2，则g(－x)＝－g(x)， 2x＋1x＋1

因此g(x)是奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， 则M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.

21、设定义在??2,2?上的偶函数g?x?，当x?0时，g?x?单调递减，若g?1?m??g?m?成立，求实数m的取值范围.

解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单

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调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜

1. 222.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递减函数,若

?1?f?lnx??f?ln??2f?1??0，则x的取值范围是( )

?x?A.?0,? B. ?,e?C. ?e,???D.?0,???e,??? 考点四：函数的周期性

函数的周期性是高考的热点之一，常考查的题型有： ⑴判定函数的周期性，并求其最小正周期．

⑵利用函数的周期性，求特定函数值或求函数表达式． ⑶结合函数的其他性质解决有关问题的综合应用．

23、(2010高考)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( ) A．－1

B．1 C．－2

D．2

?1??e??1?e???1??e?解：由于f(x)的周期为5，∴f(3)－f(4)＝f(－2)－f(－1)．

又f(x)为在R上的奇函数，∴f(－2)－f(－1)＝－f(2)＋f(1)＝－2＋1＝－1. 24. 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )

A.-2

B.-1

C.0

D.1

解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数， ∴设g（x）=f（x+2）， 则g（-x）=g（x）， 即f（-x+2）=f（x+2）， ∵f（x）是奇函数， ∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（x-2），

即f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x）， 则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1， ∴f（8）+f（9）=0+1=1， 故选：D．

25、若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f?x????x(1?x),0?x?1

?sin?x,1?x?2则f??29??41???f??? .-5/16 ?4??6?1的图像与函数y?2sin?x（?2?x?4）的图像所有交点的横坐标之 1?x

C．6

D．8

26、（2011新课标）函数y?和等于( )．

A．2

B．4

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【解题技巧点睛】在解决与函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了.

(1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 四、反馈练习

1、下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A．f(x)＝sinx

1－

B．f(x)＝－|x＋1| C．f(x)＝(ax＋ax)

2

2－x

D．f(x)＝ln 2＋x

2－x1－

解：y＝sinx与y＝ln为奇，而y＝(ax＋ax)为偶，y＝－|x＋1|是非奇非偶．y＝sinx在[－1,1]上为增.

22＋x2．已知f(x)与g(x)分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f(x)＋g(x)＝log2(x2＋x＋2)，则f(1)等于( ) A．?113B.C．1 D. 222??1?f?1??g?1??2?f?1??g?1??2解：由条件知，?，∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∴?，∴f(1)＝. 2f?1?g?1?1?f1?g1?1????????????3. 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋2)＝f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，则f(x)在[2,3]上是 A．增函数

B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数

解：由f(x＋2)＝f(x)得出周期T＝2，∵f(x)在[－1,0]上为减函数，

又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，从而f(x)在[2,3]上为增函数．

4．已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a>0)上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g(x)＝f(x)＋2，则g(x)的最大值与最小值之和为( ) A．0

B．2 C．4

D．不能确定

解：∵f(x)是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f(x)的最大值与最小值之和为0，又g(x)＝f(x)＋2是将f(x)的图象向上平移2个单位得到的，故g(x)的最大值与最小值比f(x)的最大值与最小值都大2，故其和为4. 5．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f?x?1??1?f?x?，则f(2011)等于( )

1?f?x?1 2D.

A．2

B．－3 C．?1 3解：条件知，f(2)＝－3，f?3???11，f?4??，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x) (x∈N*)． 23 7 多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！2016-11-13

∴f(x)的周期为4， 故f?2011??f?3???[点评] 严格推证如下：f?x?2??1. 21?f?x+1?1 ， ??1?f?x+1?f?x?∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为4. 故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N*，k∈N*)， 6．设f?x??lg?A．(－1,0)

?2??a?是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是( ) ?1?x?

B．(0,1) C．(－∞，0)

D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

解：∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝－1.∴f?x??lgx?1x?1?1，∴－1

7、函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )

sinx

x2ππ

解：∵y＝是偶函数，排除A，当x＝2时，y＝>2，排除D，当x＝时，y＝＝>1，排除B，

sinxsin26π3

sin6故选C.

1

8. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝_____.

21?1??1?解：∵f(x)的图象关于直线x＝对称，∴f?+x??f??x?，对任意x∈R都成立，

2

?2??2?∴f(x)＝f(1－x)，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－f(1＋x)＝f(－1－x)＝f(2＋x)， 1

∴周期T＝2 ∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0 又f(1)与f(0)关于x＝对

2

称∴f(1)＝0 ∴f(3)＝f(5)＝0 填0.

9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称．

(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；

(2)若f(x)＝x(0

解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)． 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．

(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0.x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，

f(x)＝－f(－x)＝－－x，又f(0)＝0，故x∈[－1,0]时， f(x)＝－－x.x∈[－5，－4]，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4. 10、判断下列函数的奇偶性：

8 π

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16x＋1＋2x

(1)f(x)＝； (2))f(x)＝log2(1－x2＋x2－1＋1)； x2a2－x2(3) f(x)＝(常数a≠0)．（4）f(x)＝

|x＋a|－a

3－2x＋2x－3

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