数学
大题规范练(四)
(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12
1．(本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S满足S＝[c2－(a－b)]．
(1)求cos C；
(2)若c＝4，且2sin Acos C＝sin B，求b的长．
12112222
解：(1)由S＝[c－(a－b)]＝[－(a＋b－c)＋2ab]＝－abcos C＋ab，又S＝absin C，
2221222
于是absin C＝－abcos C＋ab，即sin C＝2(1－cos C)，结合sinC＋cosC＝1，可得5cosC233
－8cos C＋3＝0，解得cos C＝或cos C＝1(舍去)，故cos C＝.
55
2
a2＋b2－c2
(2)由2sin Acos C＝sin B结合正、余弦定理，可得2·a·＝b，即(a－c)(a＋c)
2ab3222222
＝0，解得a＝c，又c＝4，所以a＝4，由c＝a＋b－2abcos C，得4＝4＋b－2×4×b，解
5得b＝
24. 5
2．(本小题满分12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝
BC＝2，且点O为AC中点．
(1)证明：A1O⊥平面ABC； (2)求三棱锥C1-ABC的体积．
解：(1)证明：因为AA1＝A1C，且O为AC中点，所以A1O⊥AC， 又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC， 且A1O?平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC. (2)∵A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离． 由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝AA1－AO＝3， ∴V2
2
C1-ABC＝V111
＝S△ABC·A1O＝××2×3×3＝1. A1-ABC332
数学
3．(本小题满分12分)某学校高一年级共有20个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，作出频率分布直方图如图所示．
(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；
(2)若会弹钢琴的人数为[35,40]的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为[30,35)的班级作为第二类备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率．
解：(1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为x，由频率分布直方图知，
x＝2.5×0.01×5＋7.5×0.01×5＋12.5×0.04×5＋17.5×0.02×5＋22.5×0.04×5＋
27.5×0.03×5＋32.5×0.03×5＋37.5×0.02×5＝22，
所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.
(2)由频率分布直方图知，第一备选班级为2个，第二备选班级为3个，用ai(i＝1,2)表示第一备选班级，bj(j＝1,2,3)表示第二备选班级．则从两类备选班级中选出两个班参加比赛，有{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，
b3}，共10种情况．
其中第一备选班级和第二备选班级中均有班级被选中的情况有{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，共6种情况．
63
所以两类备选班级中均有班级被选中的概率为＝.
105
x2y2
4．(本小题满分12分)设椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭
ab圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.
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