浙江省杭州外国语学校2019届高三下学期五月份考试数学试题

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数学参考答案

1-5 BCCBB 6-10 BDDBA 11. 6 12.123 13. ? 14.??3,?2?

5

?ln33?,? 17. ??3e?15.

6 16.25918.(1)证明 在△ABC中，C＝π－A－B，C＝2B，所以π－A－B＝2B，sin(π－A－B)＝sin 2B，

sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Bcos B，

ab

由正弦定理sin A＝sin B，得acos B＋bcos A＝2bcos B， 即bcos A＝(2b－a)cos B.

cb65

(2)解 由正弦定理sin C＝sin B，得sin 2B＝sin B， 3

所以cos B＝5，

36

由余弦定理b＝a＋c－2accos B，得25＝a＋36－5a，

2

2

2

2

11

即5a2－36a＋55＝0，所以a＝5或a＝5.

ππ

当a＝5时，又b＝5，所以A＝B，又C＝2B，A＋B＋C＝π，所以A＝B＝4，C＝2，明1142

显不符合题意，所以a＝5，又sin B＝1－cosB＝5， 11114132

所以△ABC的面积S＝2acsin B＝2×5×6×5＝25.

19.解 (1)因为a1＝S1＝1，且(t＋1)Sn＝a2n＋3an＋2， 所以(t＋1)S1＝a21＋3a1＋2，所以t＝5.

2所以6Sn＝an＋3an＋2.①

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当n≥2时，有6Sn－1＝a2n－1＋3an－1＋2，②

2①－②得6an＝an＋3an－a2n－1－3an－1，

所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0， 因为an>0，所以an－an－1＝3， 又因为a1＝1，

所以{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列， 所以an＝3n－2(n∈N*). (2)因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1， 所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)， 所以当n≥2时，

bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 3n2－n＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝2.

3n2－n

又b1＝1也适合上式，所以bn＝2(n∈N*). 所以

11

＝2 2bn＋7n3n－n＋7n

1?111?1－??， ＝3·＝·n?n＋2?6?nn＋2?

11111?1?1－＋－＋…＋－?所以Tn＝6·324 nn＋2???11?1?3－－?2n＋1n＋2?， ＝6·??3n2＋5n＝. 12?n＋1??n＋2?

20.(1)证明 如图，在直角梯形ABCD中，取AB的中点M，连接DM，由条件知四边形BCDM为正方形， ∴DM＝AM＝BM， ∴BD⊥AD.

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∵平面PAD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面PAD.

∵PD?平面PAD，∴PD⊥BD.

(2)解 方法一 过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，

∵平面PAD⊥平面ABCD，PE?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PE⊥平面ABCD.

设BC＝CD＝a，则AB＝2a，AD＝PD＝BD＝2a， ∴PB＝PD2＋BD2＝2a.

6

∵∠PDA＝120°，∴PE＝2a，PA＝2PDsin 60°＝6a， 11515?PA?∴S△PAB＝2PA·AB2－?2?2＝2a2＝2，

??∴a＝1，

11616

∴VP－ABCD＝3PE·S梯形ABCD＝3×2××(1＋2)×1＝

24. 方法二 设BC＝CD＝a，则AD＝PD＝BD＝2a， ∴PB＝PD2＋BD2＝2a.

∵∠PDA＝120°，∴PA＝2PDsin 60°＝6a， 11515?PA?∴S△PAB＝2PA·AB2－?2?2＝2a2＝2，

??∴a＝1，

13

∴S△PAD＝2×2×2×sin 120°＝2. ∵S△ABD＝2S△BCD，

3

∴S梯形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝2S△ABD，

..

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33313136

∴VP－ABCD＝VP－ABD＝VB－PAD＝×BD×S△PAD＝××2×＝. 22232324

|0－2|

21.解 (1)圆x＋y＝a的圆心(0,0)到直线x－y－2＝0的距离d＝＝1，

2

2

2

2

c2

∴2＝2a2－12，解得a2＝2，又a＝2，a2＝b2＋c2， 联立解得a2＝2，c＝1＝b. x22

∴椭圆C的标准方程为2＋y＝1.

→→

(2)假设在x轴上存在定点M(m,0)，使得MA·MB为定值. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， y＝k?x－1?，??

联立?x22

＋y＝1，??2

化为(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 2k2－24k2

则x1＋x2＝，x·x＝.

1＋2k2121＋2k2→·→＝(x－m，y)·MAMB11(x2－m，y2) ＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2

＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－1)(x2－1) ＝(1＋k2)x1·x2－(m＋k2)(x1＋x2)＋m2＋k2 2k2－24k2222＝(1＋k)·2－(m＋k)2＋m＋k 1＋2k1＋2k

2

k2?2m2－4m＋1?＋m2－2＝，

2k2＋1

5

令2m2－4m＋1＝2(m2－2)，解得m＝4，

?5?→·→为定值－7.

因此在x轴上存在定点M?4，0?，使得MAMB

16??

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