(??2)(K?1)?2?K?0
??2由此得到和应满足的不等式和条件 2 3 4 5 9 15 30 100 6 4 3
根据列表数据可绘制K为横坐标、?为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3中的阴影部分。
图A-3-3 闭环系统稳定的参数区域
3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为G(s)?界增益Kc之值及无阻尼振荡频率值。
根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程 列写劳斯表 根据劳斯判据可得
系统稳定的K值范围为
K(s?5)(s?40) 试求系统的临
s3(s?200)(s?1000)当K1?1.22?106、K2?1.7535?108时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益Kc?1.22?106以及Kc?1.7535?108。
根据劳斯表列写Kc?1.22?106时的辅助方程
解得系统的一对共轭虚数极点为s1,2??j16，系统的无阻尼振荡频率即为16rad/s。 Kc?1.7535?108时的辅助方程
解得系统的一对共轭虚数极点为s3,4??j338，系统的无阻尼振荡频率为338rad/s。
第四章
4-2设已知单位反馈系统的开环传递函数如下，要求绘出当开环增益K1变化时系统的根轨迹图，并加简要说明。 （1）G?s??K1
s?s?1??s?3?0?与???，3?上有根轨迹，渐近线相 系统开环极点为0，—1，—3，无开环零点。实轴??1，角?a??60?,?180?，渐近线与实轴交点?a??1.33，由
dK1?0可得出分离点为（?0.45,j0），dS与虚轴交点?j3?K1?12?。常规根轨迹如图A-4-2所示。
图A-4-2 题4-2系统（1）常规根轨迹
（2）G?s??K1 2s?s?4?s?4s?20??0?上有根轨迹，?a??45?,?135?，?a??2，分离点 方法步骤同上，实轴??4，??2,j0?与??2?j2.5?，与虚轴交点?j10?K1?260?。常规根轨迹如图A-4-3所示。
K1（1)试绘制系统根轨迹的大致图形，
s2(s?1)图A-4-3 题4-2系统（2）常规根轨迹
4-3设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?并对系统的稳定性进行分析。（2）若增加一个零点z??1，试问根轨迹图有何变化，对系统稳定性有何影响？ （1）G?s??K1 2s?s?2?dK1?0可得出分离点为?0,j0?，与dS?2?上有根轨迹，?a??60?,?a??0.67，由实轴???，虚轴交点为j0?K1?0?常规根轨迹如图A-4-4（a）所示。从根轨迹图可见，当K1?0便有二个闭环极点位于右半s平面。所以无论K取何值，系统都不稳定。
图A-4-4 题4-3系统常规根轨迹 （2）G?s??K1?s?1? s2?s?2??1?上有根轨迹，?a??90?,?a??0.5，实轴??2，分离点为?0,j0?；常规根轨迹如图A-4-4
（b）所示。从根轨迹图看，加了零点z??1后，无论K取何值，系统都是稳定的。 4-4 设系统的开环传递函数为G(s)H(s)?迹（1）a=1 (2) a= (3) a=3
0?上有根轨迹，?a??90?，?a?0，分离点为??0.38，0?，常规根轨 （1）a=1时，实轴??2，K1(s?2)试绘制下列条件下系统的常规根轨
s(s2?2s?a)迹如图图A-4-5（1）
图A-4-5（1）
0?上有根轨迹，?a??90?，?a?0，根轨迹与虚轴的交点为?0，?j?，（2）a=时，实轴??2，常规根轨迹如图图A-4-5（2）
图A-4-5（2）
0?上有根轨迹，?a??90?，?a?0，根轨迹与虚轴的交点为?0，?j?，（3）a=3时，实轴??2，常规根轨迹如图图A-4-5（3）
图A-4-5（3） 4-5 求开环传递函数为G(s)H(s)?（3）a=8 (4)a=3
K1(s?1)的系统在下列条件下的根轨迹（1）a=10（2）a=92s(s?a)?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??4.5，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（1）实轴??10，j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（1）
图A-4-6（1）
?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??4，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（2）实轴??9，j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（2）
图A-4-6（2）
?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??3.5，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（3）实轴??8，j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（3）
图A-4-6（3）
?1?上有根轨迹，?a??90?,?a??1，分离点为?0，j0?，与虚轴交点为（4）实轴??3，j0?K1?0?。常规根轨迹大致图形如图A-4-6（4）
图A-4-6（4）
4-7 设系统的框图如图4-T-2所示，试绘制以a为变量的根轨迹，并要求：（1）求无局部反 馈时系统单位斜坡响应的稳态误差，阻尼比及调整时间。（2）讨论a=2时局部反馈对系性 能的影响。(3)确定临界阻尼时的a值。
系统特征方程为
以?为可变参数，可将特征方程改写为 从而得到等效开环传递函数
0?上有根轨迹?a??180?,?a??1， 根据绘制常规根轨迹的方法，可求得实轴???，分离点
为??1,j0?，出射角为?P??150?。参数根轨迹如图A-4-7所示。
图A-4-7 题4-7系统参数根轨迹
（1） 无局部反馈时???0?，单位速度输入信号作用下的稳态误差为esr?1；阻尼比为
??0.5；调节时间为ts?6s?5%?
（2） ??0.2时，esr?1.2，??0.6，ts?5s(5%)
比较可见，当加入局部反馈之后，阻尼比变大，调节时间减小，但稳态误差加大。
（3） 当??1时，系统处于临界阻尼状态，此时系统有二重闭环极点s1,2??1。 4-8 根据下列正反馈回路的开环传递函数，绘制其根轨迹的大致图形。
0?，与虚轴交?2????1，???有根轨迹，?a??90?,?a??1.5，分离点为??1.5，（1）实轴???，点为j0?K1?3?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（1）
??????2，?1?有根轨迹，?a?0?，0?，与虚轴（2）实轴?0，?120?,?a??2，分离点为??1.57，交点为j0?K1?3?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（2）
（3）实轴?0，??????2，?1????4，?3?有根轨迹，?a?0?，?120?,?a??2，虚轴交点为
?0，j0.91??K1?5.375?。常规根轨迹大致图形如图A-4-8（3）
4-9 绘出图4-T-3所示滞后系统的主根轨迹，并确定能使系统稳定的K值范围。
主根轨迹如图A-4-9所示。系统稳定的K值范围是0?K?14.38。
图A-4-9 题4-9系统主根轨迹
Ke??s4-10 若已知一个滞后系统的开环传递函数为G?s?H?s??，试绘制此系统的主根轨迹。
sKe??s 由G?s?H?s??知
sK1?0时系统的根轨迹从开环极点p1?0和????出发，实轴???，0?上有根轨迹，主根轨迹
???1?分离点??,j0?；与虚轴交点?j，临界K值。主根轨迹如图A-4-10所示。
2??2???图A-4-10
4-11上题中的开环传递函数可用下列近似公式表示(1) G?s?H?s??K?1??s? (2)
s???K?1?s?K2? (3) G?s?H?s??试绘制以上三种情况的根迹，并和题4-10G?s?H?s???s??s?1????s?1?s??2?的根轨迹进行比较，讨论采用近似式的可能性。
K?1??s?（1）G?s?H?s??的根轨迹如图A-4-11（1）所示。 sK?1??s?图A-4-11（1） G?s?H?s??根轨迹 s???K?1?s?2?（2）G?s?H?s???
???s?1?s??2???2?1?2??21?2?2??? 分离点?；与虚轴交点?j,j0?；会合点?,j0?????????定K值为
????；临界稳
2。根轨迹如图A-4-11（2）所示。 ?
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