图A-4-11（2） G?s?H?s??K?1?(?/2)s?根轨迹 s?1?(?/2)s?（3）G?s?H?s??K
s??s?1??1?分离点???2?,j0??，根轨迹如图A-4-11（3）所示。
??图A-4-11（3） G?s?H?s??K根轨迹
s??s?1?K。若?较大，取上述近似式
s??s?1?讨论：当?较小时，且K在某一范围内时，可取近似式
???K?1?s?2?误差就大，此时应取近似式?。9
???s?1?s??2?4-12 已知控制系统的框图如图4-T-4所示，图中G1(s)?绘制闭环系统特征方程的根轨迹，并加简要说明。
系统的根轨迹如图A-4-12所示。
图A-4-12 4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K1s?2，G2(s)?。试
s(s?5)(s?5)K1(s?a),确定a的值，使根轨迹图分别具
s2(s?a)有0,1,2个分离点，画出这三种情况根轨迹图。
111 当0?a?时，有两个分离点，当a?时，有一个分离点，当a?时，没有分离点。系
999统的根轨迹族如图A-4-13所示。
图A-4-13 第五章
5-1 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制其开环频率特性的极坐标图
(1)G?s??1 s?s?1?解：幅频特性： A(?)?1?1??2
相频特性： ?(?)??900?arctg? 列表取点并计算。
?
-135?
?
?
?
?
系统的极坐标图如下：
(2) G?s??1
?1?s??1?2s?解：幅频特性： A(?)?11??21?4?2
相频特性： ?(?)??arctg??arctg2?
列表取点并计算。
0 1
0?
?
?
?
?
?
?
系统的极坐标图如下：
(3) G?s??1
s?s?1??2s?1?1解：幅频特性： A(?)??1??21?4?2
相频特性： ?(?)??900?arctg??arctg2?
列表取点并计算。
?
-161?
1
?2
?5 -253?
?
系统的极坐标图如下：
(4) G?s??1
s2?1?s??1?2s?1解：幅频特性：A(?)??21??21?4?2
相频特性：?(?)??1800?arctg??arctg2?
列表取点并计算。
1
?? 系统的极坐标图如下：
?
?
?
?
?
5-2 试绘制上题中各系统的开环对数频率特性（伯德图）。
(1)G?s??1 s?s?1?解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，在??1s?1处与L(?)=20lgK=0相交。
1
环节的交接频率?1?1s?1，斜率下降20dB/dec，变为-40dB/dec。 ?s?1?系统的伯德图如图所示:
(2) G?s??1
?1?s??1?2s?解：伯德图起始为0dB线，
11的交接频率?1?s?1，斜率下降20dB/dec，变为－20dB/dec。 1?2s21的交接频率?2?1s?1，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 1?s系统的伯德图如图所示。 （3）G?s??1
s?s?1??2s?1?解：系统为Ⅰ型，伯德图起始斜率为－20dB/dec，其延长线在?=1处与L(?)=20lgK=0相交。
11的交接频率?1?s?1，斜率下降20dB/dec，变为－40dB/dec。 1?2s21的交接频率?2?1s?1，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 1?s系统的伯德图如图所示。
(4) G?s??1
s2?1?s??1?2s?解：系统为错误！未找到引用源。型，伯德图起始斜率为－40dB/dec，其延长线在?=1处与L(?)=20lgK=0相交；
11的交接频率?1?s?1，斜率下降20dB/dec，变为－60dB/dec。 1?2s21的交接频率?2?1s?1，斜率下降20dB/dec，变为－80dB/dec。 1?s系统的伯德图如图所示。
5-3设单位反馈系统的开环传递函数为
试绘制系统的内奎斯特图和伯德图，并求相角裕度和增益裕度。
解：幅频特性： A(?)?10?1?(0.1?)21?(0.5?)2
相频特性 ?(?)??900?arctg0.1??arctg0.5?
?
?
?
?
-163?
?
?
错误！未找到引用源。系统的极坐标图如图所示。 令??????1800，解得?g?4.47s?1。
Kg?1?1.2，增益裕度： GM=20lgKg?1.58dB。
A（?g）错误！未找到引用源。伯德图起始斜率为-20dB/dec,经过点??1s?1,L(?)?20lgK?20。
??1s?1处斜率下降为-40 dB/dec，??10s?1处斜率下将为-60dB/dec。 系统的伯德图如下图所示。
令A(?)=1得剪切频率 ?c?4.08s?1,相角裕度PM=。
5-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为
用MATLAB绘制系统的伯德图，确定L(?)?0的频率?c，和对应的相角?(?c)。 解：命令如下： >> s=tf('s');
>> G=1/((s*(1+s)^2)); >> margin(G2);
程序执行结果如上，可从图中直接读出所求值。
5-6 根据下列开环频率特性，用MATLAB绘制系统的伯德图，并用奈氏稳定判据判断系统的稳定性。 （1）G(j?)H(j?)?10
(j?)(0.1j??1)(0.2j??1)解：命令如下： >> s=tf('s');
>> G=10/(s**s+1)**s+1)); >> margin(G);
如图，相角裕度和增益裕度都为正，系统稳定。 （2）G(j?)H(j?)?解：命令如下： >> s=tf('s');
2
(j?)2(0.1j??1)(10j??1)
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