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an?1?an?f(n)．( 采用累积法，f(n)可求积．)；
1如已知数列{an}满足：a1?1,an?an?1?(n?2.)，则an?_____．
n?1?n(答：an?n?1?2?1)．
(4)．构造法形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn( k,b为常数)的递推数列． 如已知a1?1,an?3an?1?2，求an．(答：an?2?3n?1?1)；
(5)．涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用： an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1；
an?anan?1a???2?a1． an?1an?2a1(6)．倒数法：
an?1的递推数列都可以用倒数法求通项．
kan?1?b1an?1如：①．已知a1?1,an?，求an．( 答：an?．)；
3n?23an?1?1形如：an?1．) ． n211过关题30：已知函数f(x)??4?2，数列{an}的前n项和为Sn，点P(a,?()n?)N*nnan?1x在曲线y?f(x)上，且a1?1,an?0．
②．已知数列满足：a1?1,an?1?an?anan?1，求an．( 答：an?(1)．求数列{an}的通项公式； (2)．求证：Sn?2n(n?N*)；
4n?1?1(3)．若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足得数列{bn}是等差数列．
Tn?1an2?Tnan?12?16n2?8n?3，试确定b1的值, 使
52．由an?Sn?Sn?1，求数列通项时注意到n?2了吗？一般情况是：an???S1,n?1?Sn?Sn?1,n?2．
53.立体几何：
立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？ ①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a?α) 、a?α ③平面与平面:α∥β、α∩β=a
线//线?线//面?面//面，线⊥线?线⊥面?面⊥面。
a//b??????//????常用定理:①线面平行b????a//?;??a//?;a????a//?
a???a???a??????//???a??a//b????②线线平行:a????a//b;??a//b;????a??a//b;??c//bb???a//c???????b?????b?a//?
a??,b???a????//???③面面平行:a?b?O???//?;???//?;???//?
a???//???a//?,b//???高考资源网版权所有 侵权必究
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PO????(三垂线);逆定理? ??a?PAa?AO??④线线垂直:a?????a?b;所成角90；a??0
b??????a??,b?????⑤线面垂直:a?b?O??l??;????l?;?//??;a//b???a??a????a??a????b????a??,a?l?l?a,l?b???
⑥面面垂直：二面角90;
0
a???a//???????;????? a???a???过关题31：如图，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． (1)求证：AE⊥BE；
(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点，求证：MN //平面DAE． 解：(1)因为BC?平面ABE，AE?平面ABE，所以AE?BC， 又BF?平面ACE，AE?平面ACE，所以AE?BF， 又BF?BC=B，所以AE?平面BCE， 又BE?平面BCE，所以AE?BE．
(2)如图所示，取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点． 所以PN//DC，且PN?1DC， 2又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点， 所以AM//DC，且AM?1DC， 2所以PN//AM，且PN=AM，故AMNP是平行四边形，所以MN//AP， 而AP?平面DAE，MN?平面DAE，所以MN//平面DAE．
过关题32：如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PD=PA，E、F分别是AB、PD的中点。 (1)求证：AF∥平面PCE； (2)求证：平面PCE⊥平面PCD。 证明：
(1)取PC中点G，连接FG、EG。 因为F、G分别为PD、PC的中点，
1
所以FG∥CD且FG=CD，
2 1
又AE∥CD且AE=CD， 2 所以，FG∥AE且FG=AE， 四边形AEGF为平行四边形，
因此，AF∥EG，又AF ?平面PCE，所以AF∥平面PCE。 (2) 由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD， 又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD⊥AF。
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又PA⊥AD，F为PD的中点，则AF⊥PD， 因此，AF⊥平面PCD。 而AF∥EG，故EG⊥平面PCD，
又EG?平面PCE，所以，平面PCE⊥平面PCD。
过关题33：平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点。 (1)求证：BD⊥平面CDE； (2)求证：GH∥平面CDE； (3)求三棱锥D-CEF的体积。
解：(1)平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD。 ∵ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD.
∴ED⊥BD。又∵BD⊥CD，∴BD⊥平面CDE。
(2)连结EA，则G是AE的中点。
∴⊿EAB中，GH∥AB。又∵AB∥CD，∴GH∥CD， ∴GH∥平面CDE。
(3)设Rt⊿BCD中BC边上的高为h。 ∵CD=1，∠BCD=60°，∴BC=2，h=∴VD-CEF=VC-DEF=3 3 。即：点C到平面DEF的距离为， 2 2
CDBHAGEF113 3
222222=。 3 2 2 3
54.平面向量:
(1)向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征
? ⑴ 几个概念：零向量、单位向量、与a同方向的单位向量，平行向量，相等向量，相反向量，
???????a?b以及一个向量在另一向量上的投影（a在b方向上的投影是|a|cos???, ?为向量a与b|b|???????? 过关题34：在直角坐标平面上，向量OA?(4,1)与OB?(2,?3)在直线l上的射影长度相等，??? ⑵ 0和0是有区别的了，0的模是0，它不是没有方向，而是方向不确定；0可以看成与?????????? ⑶ 若a?0，则a?b?0，但是由a?b?0，不能得到a?0或b?0，你知道理由吗？
???????????? 还有：a?c时，a?b?c?b成立，但是由a?b?c?b不能得到a?c，即消去律不成立。 (2)向量中的重要结论记住了吗？如：在三角形ABC中，点D为边AB的中点，则
????1????????CD?(CA?CB)；已知直线AB外一点O，点C在直线AB上的充要条件为
2????????????OC?tOA?(1?t)OB。
任意向量平行，但与任意向量都不垂直。 则l的斜率为 .
的夹角）一定要记住!
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(3)你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？
(4).向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内积，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法，两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）
向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a的相反向量是－a。)、共线向量、相等向量
注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）
(5)加、减法的平行四边形与三角形法则:AB?BC?AC;AB?AC?CB a?b?a?b?a?b (6)向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：
????①a?b?a?b?0；
??2???2??2b，特别地，a?a?a?a,a?a；
?????b；当?为锐角时，a?b＞0，且a、 b不同向，a?b?0????是?为锐角的必要非充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为
?②当a，b同向时，a?b＝a?当a与b反向时，a?b＝－a钝角的必要非充分条件；
????????③|a?b|?|a||b|。如已知a?(?,2?)，b?(3?,2)，如果a与b的夹角为锐角，则?41的取值范围是______（答：???或??0且??）；
33④向量b在a方向上的投影︱b︱cos?＝??a?ba
??⑤e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a??1e1??2e2(?1,?2唯一)
????????特别：OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件
如（1）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足
????OC??1OA??2OB,其中?1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是___（答：直线AB） （2）在?ABC中，
?????????????????????????????1①PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地PA?PB?PC?0?P为3?ABC的重心；
????????????????????????②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的垂心；
????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在③向量?(???|AB||AC|直线)；
???????????????????????????????④|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；
????????????????????如：(1)若O是△ABC所在平面内一点且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的形?????????????????|AP|???，则?的值为___（答：2）一点P，满足PA?BP?CP?0，设???；（3）若点O是|PD|??????????????△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为__（答：120）；
????????????????（4）已知点O为△ABC的外心，且AC?4，AB?2，则AO?BC的值等于 6 ．
状为____（答：直角三角形）；（2）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内有
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序号 内容 要求
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