初二年级春季数学竞赛讲义
目 录
本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。 注：有(*) 标注的为选做内容。 本次培训具体计划如下，以供参考：
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲
如何做几何证明题 平行四边形（一） 平行四边形（二） 梯形
中位线及其应用 一元二次方程的解法 一元二次方程的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应用
专题复习一：因式分解、二次根式、分式 专题复习二：代数式的恒等变形 专题复习三：相似三角形 结业考试（未装订在内，另发）
第八讲 第九讲 第十讲 第十一讲 第十二讲 第十三讲
第十四讲 试卷讲评
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初二年级春季数学竞赛讲义
第一讲：如何做几何证明题
【知识梳理】
1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】
【专题一】证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例1】已知：如图所示，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。 ABC 求证：DE＝DF
CFBAED第 2 页 共 91 页
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【巩固】如图所示，已知?为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连ABC结CE、DE。 求证：EC＝ED
【例2】已知：如图所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。 求证：∠E＝∠F
【专题二】证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
【例3】如图所示，设BP、CQ是?的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 ABC 求证：KH∥BC
BCQKAPHBCDAEEABFCD第 3 页 共 91 页
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【例4】已知：如图所示，AB＝AC，∠。 A?90?，AE?BF，BD?DC 求证：FD⊥ED
【专题三】证明线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 【例5】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC， 且∠DEC＝60°； 求证：BC＝AD＋AE
【巩固】已知：如图，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 ABCB?60? 求证：AC＝AE＋CD
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AEFBDCADEBCBEAODC 初二年级春季数学竞赛讲义
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）
【例6】 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，?。 EAF??45 求证：EF＝BE＋DF
【专题四】证明几何不等式：
【例7】已知：如图所示，在?中，AD平分∠BAC，AB?AC。 ABC 求证：B D?DC
【拓展】?中，?于D，求证：A D??AB?AC?BCBAC??90，AD?BCABC?
BDCAADFBECABDC14
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第二讲：平行四边形（一）
【知识梳理】 1、平行四边形：
平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： （1）平行四边形对角相等； （2）平行四边形对边相等； （3）平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： （1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、特殊平行四边形： 一、矩形
（1）有一角是直角的平行四边形是矩形 （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。
（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 二、菱形
（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （2）定理1:菱形的四条边都相等
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. （4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2 （5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形
（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 三、正方形
（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 （2）性质：①四个角都是直角，四条边相等
②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形
【例题精讲】
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②有一个角是直角的菱形是正方形
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【例1】填空题：
在下列特征中，
（1） 四条边都相等
（2） 对角线互相平分
（3） 对角线相等
（4） 对角线互相垂直
（5） 四个角都是直角
（6） 每一条对角线平分一组对角
（7） 对边相等且平行
（8） 邻角互补
【巩固】
1、下列说法中错误的是（ ） ．．
平行四边形具有的是： 矩形具有的是： 菱形具有的是： 正方形具有的是： A.四个角相等的四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.菱形、矩形或正方形 3、下面结论中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4、如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果?BAC?90，那么四边形AEDF是矩形； ③如果AD平分?BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD?BC且AB?AC，那么四边形AEDF是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）
Ｅ
Ｂ Ｄ
【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点. 求证：四边形BFDE是平行四边形.
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Ａ Ｆ
Ｃ
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B
F C A
E D
【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE． 四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
【例3】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．
求证：四边形AECD是菱形．
ADDEA
CFBCBE
【例4】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE． （1）求∠CAE的度数；
（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
BFEA
【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD． （1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
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DC
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（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．
【例5】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.
（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；
F
E
D
A B C
（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形； ②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
BOCEAD第三讲：平行四边形（二）
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【知识梳理】
由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。
另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。 【例题精讲】
【例1】四边形四条边的长分别为m、n、p、q，且满足m2?n2?p2?q2?2mn?2pq，则这个四边形是（ ）
A.平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形 C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形
【例2】如图①，四边形ABCD是正方形， 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.
(1) 求证：DE－BF ＝ EF．
(2) 当点G为BC边中点时， 试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．
(3) 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．
F分别是BC、DC边上的点，【巩固】如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、且AE?EF，
BE?2.
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（1）求EC∶CF的值；
（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13－2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。
【例4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC。
【例5】如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC
B
E 图1
F C
B
E 图2
F P C
A D A D 第 11 页 共 91 页
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于F。求证：AE＝CF。
【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。求证：AH＝CG。
BEDAGFC第四讲：梯 形
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【知识梳理】
与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。
通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：
1、 平移腰：过一顶点作一腰的平行线；
2、 平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3、 过底的顶点作另一底的垂线。 熟悉以下基本图形、基本结论：
【例题精讲】
中位线概念：
(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．
三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。
【例题精讲】
【例1】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上
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底AD的长.
ADCB【例2】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长.
DCAB【例3】如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，BD＝6cm. 求梯形ABCD的面积.
ADBC【例4】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.
DCAB
【巩固】
1、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
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AD
BC
2、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.
B
E
3、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的长.
【例5】已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE.
ABADCDC第 15 页 共 91 页
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求证：AD＋BC＝AB
【巩固】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AD＋BC＝AB 求证：DE⊥AE。
【例6】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ， E、F 分别是AD 、BC 的中点，若∠B＋∠C＝90°.AD ＝ 7 ，BC ＝ 15 ，求EF ．
BCEADBCEAD
AEDBFC第五讲：中位线及其应用
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【知识梳理】
1、三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
2、中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。
3、运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。
4、中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论， ①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5、有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半
②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。
【例题精讲】 【例1】已知△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC的中点，试说明BD=2EF。
CEF A
【巩固】已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点. 求证：DM?DB1AB 2A
BDMC
【例2】已知E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点 则①四边形EFGH是__________形
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②当AC＝BD时，四边形EFGH是__________形 ③当AC⊥BD时，四边形EFGH是__________形 ④当AC和BD__________时，四边形EFGH是正方形。
【巩固】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。
AMD
EF
BC
N
【例3】梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是AC、BD的中点。求证：MN＝
1（AB－CD） 2 DC
MN
AB
【巩固】如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点。
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求证：EF＞
1(AB?CD) 2ADEFBC解答第2题图 【拓展】E、F为四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝
1(AB?CD)，问：四边形2ABCD为什么四边形？请说明理由。
C
D FE
AB
【例4】四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F。求证：∠BEH=∠CFH.
【例5】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，
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且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。
PBDMCA
【巩固】已知：△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM和CAN，P是BC的中点。求证：PM＝PN AM N
BCP
第六讲：一元二次方程的解法
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【知识梳理】
形如ax2?bx?c?0?a?0?的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
?b?b2?4ac求根公式x?内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了
2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。 【例题精讲】
【例1】选用恰当的方法解方程（基础题）：
（1）x2 –2x=0 （2） x2 –9=0 （3）(1－3x)2＝1；
（4）（t－2）（t＋1）＝0 （5）x2＋8x＝2
（7）x2?4x?21?0 （8）x2?2x?15?0 （9）4x2?12x?9?0
（10）?a2?4a?21?0 （11）x2?11x?18?0 （12）2x2?x?3?0
2（13）x（x－6）＝2 （14）（2x＋1）＝3（2x＋1） （15）2b2?7b?15?0
（6）x2?7x?6?0
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3a2?4a?4?0 （17）3b2?14b?5 （18）（16）23x2?x?3?0
（19）x4?x2?20?0 （20）(3x?5)2?5(3x?5)?6?0；
【例2】用适当的方法解下列关于x的方程（提高题）： （1）?3x?2??4x?3??5； （2）
（3）?5x?3??12?4?5x?3?； （4）?3x?1??x?1???4x?1??x?1?；
2
12x?2x?3327?0； 3
（5）2?3x2?23?1x?6?0。
【巩固】用适当的方法解下列关于x的方程：
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（1）?x?2??9?x?1??0； （2）x?6ax?b?9a；
22222
（3）2x2?22?3x?6?0。 （4）?2x?1??x?3???4x?1??3?x?。
【拓展】解方程：?6x?7??3x?4??x?1??6；
2??
【例3】解方程：x?3x?4?0。
【巩固】解方程：
（1）x?x?1?1?0； （2）xx?x?2?0。
【例4】解关于x的方程：?m?1?x??2m?1?x?m?3?0。
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【巩固】解关于x的方程：x2?4px?4p2?5x?10p?6?0。
【例5】已知方程x?kx?7?0与x2?6x??k?1??0有公共根。
2（1）求k的值；
（2）求二方程的所有公共根和所有相异根。
【巩固】是否存在某个实数m，使得方程x?mx?2?0和x?2x?m?0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。
22第七讲：一元二次方程的判别式
【知识梳理】
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一、一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?根的情况：令??b?4ac。
2?b?b2?4ac?b?b2?4ac1、若??0，则方程有两个不相等的实数根：x1?； ，x2?2a2a2、若??0，则方程有两个相等的实数根：x1?x2??3、若??0，则方程无实根（不代表没有解）。 二、1、利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
2、运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 3、通过判别式，证明与方程有关的代数问题；
4、借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 【例题精讲】
【例1】已知方程ax?4x?1?0；则①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？
【巩固】1、已知关于x的方程x2?2?2?m?x?3?6m?0。 求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；
2、已知关于x的一元二次方程?1?2k?x2?2k?1x?1?0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
【拓展】关于x的方程kx??k?1?x?1?0有有理根，求整数k的值。
22b； 2a
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【例2】已知关于x的方程x2??k?2?x?2k?0。
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a?1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求?ABC的周长。
【巩固】1、等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x?10x?m?0的两根，则m?___________。
2、在等腰三角形ABC中，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c，已知a?3，b和c是关于x的方程x?mx?2?
【拓展】已知对于正数a、b、c，方程cx?a?b?cx?b?0没有实数根，求证：以长
22221m?0的两个实数根，求三角形ABC的周长。 2?222?2a、b、c的线段为边能组成一个三角形。
2【例3】设方程x?ax?4有三个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根。
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【巩固】已知关于x的方程x3??1?a?x2?2ax?a2?0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是___________________。
【例4】设a，b，c，d?0，证明在方程
12x212x212x212x2?2a?bx?cd?0；?2b?cx?ad?0；
?2c?dx?ab?0；?2d?ax?bc?0，中，至少有两个方程有不相等的实数根。
第八讲：一元二次方程根与系数的关系
【知识梳理】
一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的根与系数的关系（韦达定理）
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设方程的两个根x1，x2，则x1?x2??，x1x2?bac。 a韦达定理用途比较广泛，运用时，常需要作下列变形： （1）x1?x2??x1?x2??2x1x2；
222?x?x2??2x1x2； xxx?x2（2）2?1?1?1x1x2x1x2x1x2222（3）x1?x2??x1?x2??x1?x2??3x1x2；
332??（4）?x1?x2???x1?x2??4x1x2；
22（5）x1?x2【例题精讲】
?x1?x2?2??x1?x2?2?4x1x2。
【例1】求下列方程的两根之和，两根之积。
（1）x2－2x＋1＝0； （2）x2－9x＋10＝0；
解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ （3）2x2－9x＋5＝0； （4）4x2－7x＋1＝0；
解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ （5）2x2－5x＝0； （6）x2－1＝0
解：x1?x2?______，x1x2?_______ 解：x1?x2?______，x1x2?_______ 【例2】设x1，x2是方程2x2+4x－3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x1+1）（x2+1）=_______； （2）x12x2+x1x22=_______； （3）
x2x1?=_______ x1x2
（4）（x1+x2）2=_______； （5）（x1－x2）2=_______； （6）x13+x23=_______．
【例3】解答下列问题：
（1）设关于x的一元二次方程x?4x?2?k?1??0有两个实数根x1、x2，问是否存在
2x1?x2?x1?x2的情况？
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（2）已知：两个实数根，且?x1?2??x2?2??11，x1、x2是关于x的方程x2??2a?1?x?a2?0的；求a的值。 【巩固】
1、已知关于x的方程x?4x?a?0有两个实数根，且2x1?x2?7，则a?_____________。
2、已知?、?是方程x?x?1?0的两个实数根，则代数式?2??
22??2?2的值为_________。
?m2?0。 【例4】已知关于x的方程：x??m?2?x?42（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根x1、x2满足x2?x1?2，求m的值及相应的x1、x2。
【巩固】已知关于x的方程x??2k?3?x?k?1?0。
22（1）当k为何值时，此方程有实数根；
（2）若此方程的两个实数根x1、x2满足x1?x2?3，求k的值。
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【例4】CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x?6x?4?0的两根，则△ABC的面积是多少？
【巩固】已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x二次方程x2??2k?3?x?k2?3k?2?0的两个实数根，第三边BC的长为5。
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。
2第九讲：一元二次方程的应用
【知识梳理】
方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，许多实际问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。
列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤基本相同，解题的
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关键是恰当设未知数、分析数量关系，将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，建立二次方程模型解决问题。 【例题精讲】
【例1】要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m。 （1）求鸡场的长和宽各为多少？
（2）题中墙的长度am对题目的解起着怎样的作用？
【例2】某博物馆每周都吸引大量中外游客参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响；但同时考虑文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采用了涨浮门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？
7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 5
10
15
20 票价（元）
人数（人） 【例3】将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？
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【例4】甲、乙二人同时从同一地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点 A与B，若让他们仍从原地出发，互换彼此到达的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
【例5】一支士兵队伍长1200米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍的排头兵，并在到达排头后立即回到末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已经前进了1200米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？
【例6】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，两个选手各记1分，今有4个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1980、1981、1993、1994，经核实确实有一位同学统计无误，试计算这次比赛中共有多少名选手参加。
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【巩固】
1、在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC边长为xm，花园的面积为ym2。
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由； （3）当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多大？
2、某水果批发商场有一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
3、甲乙两条船分别从河的两岸同时出发，它们的速度是固定的。第一次相遇距河的一岸700米处，然后继续前进，都到达对岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米处，如果认为船到岸调转方向时不耽误时间，问河有多宽？
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A D
B C
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4、一支士兵队伍长100米，在行军途中，队伍正中间的某士兵接受任务，追赶队伍排头，并在到达排头后立即回到队伍的末尾，然后再立即返回队伍正中间，在他完成任务时，队伍已前进了100米，如果行军途中队伍和他的速度都保持不变，那么这位士兵共走了多少路程？
5、象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘，记分办法是胜一盘得1分，和一盘各得0.5分，负一盘得0分，已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，求参加此次比赛的选手共有多少人？
第十讲：专题复习：因式分解、分式和根式
【知识梳理】 一、因式分解： 1、常用的公式：
平方差公式：a?b??a?b??a?b?；
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完全平方公式：a2?2ab?b2??a?b?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；
2立方和（差）公式：a3?b3??a?b?a2?ab?b2； a3?b3??a?b?a2?ab?b2；
2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：
（1）ab?b?a?1??a?1??b?1?； （2）ab?a?b?1??a?1??b?1?； （3）a4?4?a2?2a?2a2?2a?2； （4）4a4?1?2a2?2a?12a2?2a?1； （5）a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac??a?b?c?；
2????????????（6）a3?b3?c3?3abc??a?b?c?a2?b2?c2?ab?bc?ac。 二、分式： 1、分式的意义
形如
??A（A、B为整式），其中B中含有字母的式子叫分式。 B当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。 2、分式的性质 （1）分式的基本性质：
AA?MA?M??（其中M是不为零的整式）。 BB?MB?M（2）分式的符号法则：
分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 （3）倒数的性质：
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111?1?； a??1?a?0?，a??1?a?0?；若a??1，则an????1（a?0，n是整数）
aaaa??na?1?2?a?0?。 a3、分式的运算 分式的运算法则有：
aba?bacad?bc??，??； cccbdbdnacacacad?a?an。 ??，??，???n（n是正整数）
bdbdbdbc?b?b4、分式的变形
分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。 三、二次根式：
1、当a?0时，称a为二次根式，显然a?0。 2、二次根式具有如下性质： （1）
?a?2?a，当a?0时，?a?a?0?； （2）a2?a??
??a，当a?0时；a?b?a?0，b?0?； （4）
aa?a?0，b?0?。 ?bb（3）ab?3、二次根式的运算法则如下： （1）ac?bc??a?b?c?c?0?； （2）
?a?n?an?a?0?。
4、设a，b，c，d，m?Q，且m不是完全平方数，则当且仅当a?c，b?d时，
a?bm?c?dm。
【例题精讲】
【例1】分解因式：x?xy?6y?x?13y?6
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【巩固】分解因式：
1、x2?xy?2y2?x?5y?2； 2、3x2?5xy?2y2?x?9y?4；
【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a?b?c?2ab?2bc?2ca的值是（ ）
A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负
3、k为何值时，多项式x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积？
【例3】已知a、b是实数，且
【专题训练】
1、已知ab?a?b?1?13，求a?b的值为_____________；
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444222222 ?1?a?a??1?b?b??1，问a、b之间有怎样的关系？请推导。
22 初二年级春季数学竞赛讲义
2、多项式x2?axy?by2?5x?y?6的一个因式是x?y?2，试确定a?b的值为_____________；
3、设3b?a?2c，求a?9b?4c?4ac的值。
4、若abc?0，且设
5、已知1?
2226、已知a?x?1991，b?x?1992，c?x?1993，且abc?24，则
222?a?b??b?c??c?a??___________ a?bb?cc?a??，则cababczxxyyz，2?，3?，则x?_______________；
z?xx?yy?zabc111??????______________________ bccaababc
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3x2?6x?57、当x变化时，分式的最小值为______________
12x?x?12
xx3?1，则6?____________________； 8、设233x?mx?1x?mx?1
2
9、已知实数a满足1992?a?a?1993?a，则a?1992?__________________； 10、化简
11、已知x?
262?3?5?____________________；
1a?a，则4x?x2?__________________
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12、设39?
432的整数部分为a，小数部分为b，则
1111??_____________； a?ba?4?b13、设等式a?x?a??a?y?a??其中a，x，y两两不同，x?a?a?y在实数范围内成立，
3x2?xy?y2则2?__________________； 2x?xy?y
14、使等式x?
15、设正整数a，m，n满足a2?42?
y?99成立的整数对?x，y?的个数为__________________；
m?n，则这样的a，m，n的取值有______组；
12222n?????16、求和：S? 1?x1?x21?x41?x2n
17、已知a?b?c?0，化简
111??。 222222222b?c?ac?a?ba?b?c第 40 页 共 91 页
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?1?b??1?c???1?a??1?c???1?a??1?b?的值。
18、若a?b?c?abc?0，计算
222222bcacab
19、计算：
20、设M?4?23，它的小数部分为P，求M?1?P?的值。
13?3?153?35?175?57???14947?4749
??3第十一讲：专题复习：代数式的恒等变形
【知识梳理】 1、恒等式的意义
两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。
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2、代数式的恒等变形
把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。 3、基本思路
（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边； （2）两边同时变形为同一代数式； （3）证明：左边?右边?0，或4、基本方法
在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】
【例1】已知abc?1，求证：
左边?1，此时右边?0。 右边abc???1。
ab?a?1bc?b?1ac?c?1思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知x、y、z为三个不相等的实数，且x?
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111?y??z?，求证：x2y2z2?1。 yzx 初二年级春季数学竞赛讲义
【拓展】若x?y?z?0，a?
【例2】证明：
abcxyz???1。 ，b?，c?，求证：
a?1b?1c?1y?zx?zx?yxyz1113。 ??????222x?ay?az?aaax?aay?aaz?a思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。
1??1??1?1??1??1???【巩固】1、求证?a????b????ab???4??a???b???ab??。
a??b??ab?a??b??ab???
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2、求证：
【拓展】求证：
【例3】已知x?bcdb?c?d???。
a?a?b??a?b??a?b?c??a?b?c??a?b?c?d?a?a?b?c?d?24620111111?????????? 2222?x?10??x?1?x?1x?4x?9x?100?x?1??x?10??x?2??x?9?a?bb?cc?a，y?，z?，求证：?1?x??1?y??1?z???1?x??1?y??1?z? a?bb?cc?a思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
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aca2?c2b2?d2?a?b???c?d?【巩固】已知??3，求证：。 ??bda?cb?da?b?c?d22
【拓展】已知实数a、b、c满足
1a2n?1
?1b2n?1?1c2n?11111???，求证： abca?b?c1?2n?1，其中n是正整数。 a?b2n?1?c2n?1【例4】已知ax?by?cz，且
333111???1，求证：3ax2?by2?cz2?3a?3b?3c。 xyz第 45 页 共 91 页
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【巩固】1、已知 2、设
ABCD???，求证：Ax?By?Cz?Dt?xyzt?A?B?C?D??x?y?z?t?
aa1a2a3?????n?a1，a2，?，an，b1，b2，?，an都是整数?。 b1b2b3bna2b2?a3b3???anbn?a1?a2???an?b1?b2???bn
求证：a1b1?
【拓展】设2005x3?2006y3?2007z3，xyz?0，
222且32005x?2006y?2007z?32005?32006?32007，求证：
111???1。 xyz
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【例5】已知正数a，b满足a1?b2?b1?a2?1，求证：a?b?1。
思路点拨：本题采用综合法。所谓综合法就是从条件开始进行推理，一步一步地推到我们所要证明
的结论，就是我们平时说的“正面突破”。
22
第十二讲：专题复习：相似三角形
【知识梳理】
1、比例线段的有关概念：
ac在比例式??(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，
bdb、d叫后项，d叫第四比例项，如果b＝c，那么b叫做a、d的比例中项。
2、平行线分线段成比例定理：
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
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ABDEABDEBCEF
则?，?，?，… BCEFACDFACDF
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 4、相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 5、相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：
（1）如图1，当 时，?ABC∽?ADE
（2）如图2，当 时，?ABC∽ ?AED。 （3）如图3，当 时，?ABC∽ ?ACD。
AA
D DED E
BBCCCB 图1图2图3
（4）如图4，如图1，当AB∥ED时，则△ ∽△ 。 （5）如图5，当 时，则△ ∽△ 。
ABB' A'
CC' E'D D'E图4 图5 A（6）如右图，特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC＝90° AD?BC∴ ? ADC ∽ ? BDA ∽ ? BAC CBD
A
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【例题精讲】
【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中线，AE⊥BD，交BC于点E，求证：BE=2EC。
DA
【巩固】如图，△ABC是一个等腰三角形，其中AB=AC，若∠B的角平分线交AC于D且BC=BD+AD，设∠A=c°，求c的值。
【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC（AD 【巩固】1、如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE:CE=2:3，连结AE、BE、BD，且AE、BD BCADBCADBEC6S梯形ABCD，25O第 49 页 共 91 页 初二年级春季数学竞赛讲义 交于点F，则S?DEF:S?EBF:S?ABF?（ ） A.4:10:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.2:5:25 2、如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S?D0E:S?COB?9:16，则AD:DB=____________。 【例3】已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E为AC中点，求证：AB?AF?AC?DF。 AADFBECADOBEC 【巩固】已知如图，AE为△ABC的角平分线，D为AB上一点，并且∠ACD=∠B，CD交AE于F，求证：CE?CF?FD?BE。 BDEFACBDFEC第 50 页 共 91 页
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