（精品）2019年北京中考数学习题精选：圆的基本性质

3（2）若BC=6，sin∠BAC=，求AC和CD的长．

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AADOBCDOCB备用图

解：（1）证明：如图，延长AO交BC于H，连接BO. ∵AB=AC,OB=OC

∴A、O在线段BC的中垂线上 ∴AO⊥BC 又∵AB=AC

∴AO平分∠BAC…………………………………………………………………2′ （2）如图，过点D作DK⊥AO于K ∵由（1）知AO⊥BC，OB=OC,BC=6 11

∴BH=CH=2BC=3 ,∠COH=2∠BOC 1

∵∠BAC=∠BOC

2 ∴∠COH=∠BAC

HC

在Rt△COH中，∠OHC=90°，sin∠COH=

CO ∵CH=3

33

∴sin∠COH==

CO5

∴CO=AO=5………………………………………………………………………3′ ∴CH=3,OH?OC2?HC2?4

3

∴AH=AO+OH=9,tan∠COH= tan∠DOK=4 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AH=9,CH=3 CH1

∴tan∠CAH=AH= 3 ,AC?AH2?HC2?310…………………………4′

1

由（1）知∠COH=∠BOH, tan∠BAH= tan∠CAH=3

13

设DK=3a，在Rt△ADK中，tan∠BAH=3 ,在Rt△DOK中，tan∠DOK=4

∴OK=4 a, DO=5 a, AK=9 a ∴OA=13 a =5

52590

∴a =13 ,DO=13 ,CD=OC+OD=13 ………………………………………………5′ 90

∴AC=310 , CD=13