解（Ⅰ）因为PC??,AB??，所以PC?AB．同理PD?AB． 又PC?PD?P，故AB?平面PCD．
（Ⅱ）设AB与平面PCD的交点为H，连结CH、DH． 因为AB?平面PCD，所以AB?CH,AB?DH， 所以?CHD是二面角C?AB?D的平面角．
又PC?PD?1,CD?2，所以CD?PC?PD?2，即?CPD?90． 在平面四边形PCHD中，?PCH??PDH??CPD?90， 所以?CHD?90． 故平面??平面?．
变式题5－2．如图5－1，已知直二面角??AB??，P??,Q??,PQ与平面?、?所成的角都为30，PQ?4．
0002220?PPC?AB,C为垂足，QD?AB,D为垂足．
（Ⅰ）求直线PQ与CD所成角的大小； （Ⅱ）求四面体PCDQ的体积．
ACE图5－2
DB?Q//DQ，连结PE、QE．则四边形CDQE为平行解：（Ⅰ）如图5－2，在平面?内，作CE?//CD，即?PQE为直线PQ与CD所成的角（或其补角）四边形，所以EQ?．
因为???,????AB,PC?AB． 所以PC??．同理QD??． 又PQ与平面
?、?所成角为300，所以?PQC?300，?QPD?300，所以
3?42DQ?PQsin300?4??2，31?2． 20CQ?PQcos30?22在Rt?CDQ中，CD?CQ?DQ?12?4?22，从而EQ?22．
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因为QD?AB，且CDQE为平行四边形， 所以EQ?CE．
又PC??,EQ??，所以EQ?PC． 故EQ?平面PCE，从而EQ?PE．
在Rt?PEQ中，cos?PQE?所以?PQE?450，
EQ222． ??PQ42即直线PQ与CD所成角的大小为45．
（Ⅱ）在Rt?PCQ中，PQ?4,?PQC?300，所以PC?2． 三角形CDQ的面积S?CDQ?故四面体PCDQ的体积
011CD?DQ??22?2?22， 22114V?S?CDQ?PC??22?2?2．
3336．（人教A版，必修2，P87，B组第1题） 如图5，边长为2的正方形ABCD中，
（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将?AED,?DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于点A?，求证：A?D?EF． （2）当BE?BF?AEBF1BC时，求三棱锥A??EFD的体积． 4A?DEDF
C图6
B变式题．如图5－1，在矩形ABCD中，AB?2,AD?1,E是CD的中点，以AE为折痕将
10
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?DAE向上折起，使D为D?，且平面D?AE?平面ABCE． （Ⅰ）求证：AD??EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD?所成角的正弦值．
DECD?ECB
AB图6－1
A解（Ⅰ）在Rt?BCE中，BE?在Rt?AD?E中，AE?222BC2?CE2?2，
D?A2?D?E2?2，
2∵AB?2?BE?AE，
∴AE?BE．
∵平面AED??平面ABCE，且交线为AE，
D?∴BE?平面AED?． ∵AD??平面AED?， ∴AD??BE．
GE（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）
知AD??BE， F∵AD??ED?， A∴AD??平面EBD?， 图6－2 ∵AD??平面AED?，
∴平面ABD??平面EBD?，且交线为BD?，
如图6－2，作FG?BD?，垂足为G，则FG?平面ABD?， 连结AG，则?FAG是直线AC与平面ABD?所成的角． 由平面几何的知识可知
CBEFEC112??，∴EF?EB?． FBAB233在Rt?AEF中，AF?AE2?EF2?2?225， ?93在Rt?EBD?中，
FGD?E26?，可求得FG?． FBD?B911
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65?3015． 所成的角的正弦值为3015． 12 第 12 页 共 12 页2FG?9∴sin?FAG?AF23∴直线AC与平面ABD?
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