课后限时集训70
n次独立重复试验与二项分布
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一、选择题
5
1.设随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),若P(X≥1)=,则P(Y≥2)的值为
9
( )
A.C.32 8165 81
11
B. 2716D. 81
2
B [因为随机变量X~B(2,p),Y~B(4,p),又P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)5111?1?=,解得p=,所以Y~B?4,?,则P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=.] 9327?3?
2.(2019·咸阳二模)已知甲,乙,丙三人去参加某公司面试,他们被该公司录取的概111
率分别是,,,且三人录取结果相互之间没有影响,则他们三人中至少有一人被录取的643概率为( )
A.C.31 7225 72
7B. 1215D. 72
?1??1??1?5
B [甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为P1=?1-?×?1-?×?1-?=,所以三
?6??4??3?12
7
人中至少有一人被录取的概率为P=1-P1=,故选B.]
12
3.袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )
2A. 5C.18 125
3B. 554D. 125
D [袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黄球3?5432?3?2?的概率P1=,∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P=C3???1-?=.] 5?5??5?125
4.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为
1
优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 C.0.6
B.0.75 D.0.45
A [已知连续两天为优良的概率是0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求0.6
随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得P==0.8.]
0.75
11
5.甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为和,甲、乙两人各射击一次,有下231111
列说法:①目标恰好被命中一次的概率为+;②目标恰好被命中两次的概率为×;③目
2323121112
标被命中的概率为×+×;④目标被命中的概率为1-×,以上说法正确的是( )
232323
A.②③ C.②④
B.①②③ D.①③
12111
C [对于说法①,目标恰好被命中一次的概率为×+×=,所以①错误,结合选23232121111
项可知,排除B、D;对于说法③,目标被命中的概率为×+×+×,所以③错误,
232323排除A.故选C.]
二、填空题
133
6.(2019·眉山模拟)三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,将T2,T3两
244个元件并联后再和T1串联接入电路,如图所示,则电路不发生故障的概率为________.
15133
[三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为,,,将T2,T3两个元件并联后再32244和T1串联接入电路,如图所示,则电路不发生故障的概率为:
??p=×?×+×+×?=.
444444
?
12
133133
15?32
]
2
7.如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为________.
112?1?2 [设女孩个数为X,女孩多于男孩的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C3??× 22?2?1113?1?3
+C3??=3× +=.]
882?2?
8.将一个大正方形平均分成9个小正方形,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中),投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(A|B)=________.
1
[依题意,随机试验共有9个不同的基本结果. 4
由于随机投掷,且小正方形的面积大小相等,
所以事件B包含4个基本结果,事件AB包含1个基本结果. 41
所以P(B)=,P(AB)=.
991
91PAB所以P(A|B)===.]
PB44
9三、解答题
2
9.设某人有5发子弹,他向某一目标射击时,每发子弹命中目标的概率为.若他连续
3两发命中或连续两发不中则停止射击,否则将子弹打完.
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率; (2)求他所耗用的子弹数X的分布列.
[解] 记“第k发子弹命中目标”为事件Ak(k=1,2,3,4,5),则A1,A2,A3,A4,A5相21
互独立,且P(Ak)=,P(Ak)=.
33
(1)法一:他前两发子弹只命中一发的概率为
P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=×+×=. 法二:由独立重复试验的概率计算公式知,他前两发子弹只命中一发的概率为P=C2×14
×=. 39
(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.
1
2133123349
23
P(X=2)=P(A1A2)+P(A1 A2)=×+×=,
3
2321153339
????P(X=3)=P(A1A2 A3)+P(A1A2A3)=×??2+×??2=, 3?3?3?3?9?2?1?1?210
P(X=4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3 A4)=??3×+??3×=,
?3?
3?3?
381
21122
P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=.
综上,X的分布列为
881
X P 2 5 93 2 94 10 815 8 8110.空气质量指数(AirQuality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;300以上为严重污染.
一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为:45,50,75,74,93,90,117,118,199,215.
(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数;
(2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为ξ,求ξ的分布列.
[解] (1)从所给数据可以发现样本中空气质量为优的天数为2,空气质量为良的天数为4,
63
∴该样本中空气质量为优良的频率为=,
105
3
从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×=18.
53
(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为,
5
ξ的所有可能取值为0,1,2,3,且ξ~B?3,?.
2?38?∴P(ξ=0)=??=, ?5?125
2
P(ξ=1)=C1, 3????=
?5??5?125
??
3?5?
?3??2?3654
2
P(ξ=2)=C2, 3????=
?5??5?125
?3??2?P(ξ=3)=??3=5ξ的分布列为
?3???
27, 125
4
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