第8章 机械振动
8-1 解：取固定坐标xOy，坐标原点O在水面上（图题所示）
设货轮静止不动时，货轮上的A点恰在水面上，则浮力为Sρga.这时 Mg?s?ga 往下沉一点时，
合力 F?Mg?s?g(a?y) ??s?gy.
dy2又 F?Ma?M 2dtdy2故M2?s?gy?0
dt习题8-1图
dy2s?g?y?0 2Mdt故作简谐振动
?2?s?gM
2?M2?104?103 T??2??2??6.35(s) 33?s?g2?10?10?9.8
8-2 解：取物体A为研究对象，建立坐标Ox轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l0处，此时：
l0?mgsin??0.1(m) (1) k(1) A物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T=kx
列出A在任一位置x处的牛顿方程式
d2xmgsin??T?mgsin??k(l0?x)?m2
dt将（1）式代入上式，整理后得
d2xk?x?0 2mdt故物体A的运动是简谐振动，且??k?7(rad/s) m由初始条件??x0??l0?A?l0?0.1m,求得?,故物体A的运动方程为
?v?0????x=0.1cos(7t+π)m
(2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T1、T2,则对A列出任一位置x处的牛顿方程式为:
d2xmgsin??T1?m2 (2)
dt对
滑
轮
列
出
转
动
方
2程为：
习题8-2图
dx?1?a1T1r?T2r?J???Mr2??Mr2 (3)
dt?2?r2式中,T2=k(l0+x) （4）
1d2x由式（3）、(4)知T1?k(l0?x)?M代入(2)式知
2dt2?1?dxmgsin??k(l0?x)??M?m?2
?2?dt又由（1）式知mgsin??kl0
21d2x故(M?m)2?kx?0
2dtd2xkx?0 即2?Mdt(?m)2
?2?kM?m2
可见，物体A仍作简谐振动，此时圆频率为：??kM?m2?5.7(rad/s)
由于初始条件：x0??l0,v0?0
可知，A、?不变，故物体A的运动方程为:
x?0.1cos(5.7t??)m
由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率.
8-3 解：简谐振动的振动表达式：x?Acos(?t??)
由题图可知，A?4?10m,当t=0时，将x?2?10m代入简谐振动表达式，得：
?2?2cos??1 2由????Asin(?t??),当t=0时，????Asin? 由图可知，?>0,即sin??0,故由cos???21?,取??? 23习题8-3图
又因:t=1s 时，x?2?10m,将其入代简谐振动表达式，得
???2?4cos????,3??
由t=1s时,????Asin?????1?cos?????
3?2???????????<0知，sin?????0,取???，
333?3??2?s 3即 ??质点作简谐振动的振动表达式为
???2x?4?10?2cos??t??m
3??38-4 解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r，由高斯
??定理可知E???Qq?Qr,则微粒在此处受电场力为:F??r 334??0R4??0R??式中，负号表明电场F的方向与r的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得：
F?mQqr?034??0R22drQqdrQq?r?0??r?02323dt4??0Rdt4??0mR2
令 ??Qq 34??0Rmd2r2??r?0 则 2dt故微粒作简谐振动，平衡点在球心处.由T?2??
4??0mR3知: T?2?
Qq8-5 解：（1）取弹簧原长所在位置为O?点.当弹簧挂上物体A时，处于静止位置P点，有：
Mg?kO?P
将A与B粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡所在位置O点，取O点为原坐标原点如图题8-5所示，则有：kO?O?(M?m)g
设当B与A粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量OO??x,则A、B系统所受合力为：
F?(M?m)g?k(O?O?x)??kx
d2x即 (M?m)2?kx?0
dt可见A与B作简谐和振动. (2) 由上式知，??k?10(rad/s)
M?m习题8.5图
以B与A相碰点为计时起点，此时A与B在P点，由图题8-5可知
OP?O?O?O?P?则t=0时，x0??OP??M?mMgmgg?? kkkmg??0.02m(负号表P点在O点上方) k2???01?2gh?2m/s 又B与A为非弹性碰撞，碰撞前B的速度为:?01碰撞后，A、B的共同速度为：?0??m?01?0.4m/s （方向向上）
M?m则t=0时，??x0??0.02m
??0?0.4m/s202?0可求得：A?x?2?0.0447(m)
? ??arctan?????0?x0?????0.65? ?10t?0.65?)m 可知A与B振动系统的振动表达式为：x?0.0447cos(
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