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考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可． 解答： 证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAE=∠EAC， 在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE=CE； （2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∵AB=AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C=90°， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBF， 在△AEF和△BCF中，， ， ∴△AEF≌△BCF（ASA）． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键． 25．（2011?太原）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F
（1）求证：CE=CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
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考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平移的性质． 专题： 几何综合题；压轴题． 分析： （1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF， （2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF． 解答： （1）证明：∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠EAD， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°， ∵CD⊥AB于D， ∴∠EAD+∠AED=90°， ∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF， ∴∠CFA=∠CEF， ∴CE=CF； （2）猜想：BE′=CF． 证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE'， 又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC， ∴ED=EG， 由平移的性质可知：D′E′=DE， ∴D′E′=GE， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90° ∵CD⊥AB于D， ∴∠B+∠DCB=90°， ∴∠ACD=∠B， 在△CEG与△BE′D′中， ， ∴△CEG≌△BE′D′， ∴CE=BE′， 由（1）可知CE=CF，
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www.jyeoo.com ∴BE′=CF． 点评： 本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中． 26．（2009?本溪）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90 度； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
考点： 全等三角形的判定；等腰三角形的性质． 专题： 压轴题． 分析： （1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； （2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和； （3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况． 解答： 解：（1）90°． 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC． 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB， ∴∠BCE=∠B+∠ACB， 又∵∠BAC=90° ∴∠BCE=90°； （2）①α+β=180°， 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC． 即∠BAD=∠CAE．
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www.jyeoo.com 在△ABD与△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB． ∴∠B+∠ACB=β， ∵α+∠B+∠ACB=180°， ∴α+β=180°； ②当点D在射线BC上时，α+β=180°； 理由：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°， ∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°， ∴α+β=180°； 当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β． 理由：∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAB=∠EAC， ∵在△ADB和△AEC中， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB， ∴∠BAC=∠BCE， 即α=β． ?2010-2013 菁优网
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