数据通信原理

3）适于传输电传机或其他键盘设备所产生的数字、字母和符号；但不适用于信源来的二进制随机数字序列 （3）正反码

信息码组中1的数目为奇数时，监督码是信息码的重复即正码；信息码组中1的数目为偶数时，监督码是信息码的反码。

例如：M=11001，则对应得码字为1100111001

M=11101，则对应得码字为1110100010

（4）重复码只有一位信息码元，监督码元是信息码元的重复，所以仅有两个码字；

该码随码长增加，具有很强的纠检错能力，但其编码效率的急剧下降；重复码并不是一种优秀的编码方案，仅用于速率很低的数据通信系统中。

8、汉明码监督位r和码长n、信息位k之间的约束关系

一般来说，若码长为n，信息位数为k，则监督位数r＝n－k。如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示1位错码的n种可能位置，则要求 2r?1?n或2r?k?r?1例：设分组码(n, k)中k = 4，为了纠正1位错码，由上式可知，要求监督位数 r ? 3。若取 r = 3，则n = k + r = 7。

9、监督矩阵H的特点、如何通过H求Q和生成矩阵G，进而求监督位和整个码组。 H矩阵可以分成两部分，例如 ?1110?100????PI? H??1101?010r?? ??1011?001??式中，P为r ? k阶矩阵，Ir为r ? r阶单位方阵。我们将具有[P Ir]形式的H矩阵称为典型阵。 ?11100|1000??00111|0100?例1 已知某线性码监督矩阵为：

?H~?（1）求其生成矩阵G

?10101|0010?（2）求整个码组A ??01110|0001??

?10000|1010? ?11100??01000|1001?????00111? T?G??Ik|Q???00100|1111?P?Q??10101???

00010|0101???? ?01110???00001|0110?? 100|1110??例2 已知（7,3）码的生成矩阵为 G ~ ? | 0111 ? 列出其所有许用码组，并求监督矩阵 010?? ??001|1101??

例3 已知一个线性分组码的码组集合为：000000, 001110, 010101，011011， 100011， 101101，110110， 111000. 求该码组集合的汉明距离。

10、线性分组码的性质

封闭性：是指一种线性码中的任意两个码组之和仍为这种码中的一个码组。因此，码的最小距离就是码的最小重量（除全“0‖码组外）。 线性分组码中必有一个全0码组。

11、循环码（码多项式、生成多项式g（x）的特点、以及如何构造生成矩阵G（x），进而求监督位和整个码组等

（1）码多项式：把码组中各码元当作是一个多项式的系数，即把一个长度为n的码组表示

n?1成 T(x)?an?1x?an?2xn?2???a1x?a0?xk?1g(x)??k?2?循环码的生成矩阵G可以写成 g(x)??x? G(x)??????xg(x)?

?g(x)?则g(x)，x g(x)，x2 g(x)，?，xk-1 g(x)都是码组，而且这k?个码组是线性无关的。因此它们可???以用来构成此循环码的生成矩阵G。 ?x2g(x)? A(x)?[aaa]G(x)?[aaa]?xg(x)?654654?? ?g(x)???

?a6x2g(x)?a5xg(x)?a4g(x)

?(a6x2?a5x?a4)g(x)上式表明，所有码多项式A(x)都可被g(x)整除，而且任意一个次数不大于(k – 1)的多项式乘g(x)都是码多项式。需要说明一点，两个矩阵相乘的结果应该仍是一个矩阵。上式中两个矩阵相乘的乘积是只有一个元素的一阶矩阵，这个元素就是A(x)。

一个多项式为（n，k）循环码的生成多项式g（x）必须符合以下3个条件： （1）g（x）是xn+1的因式；

（2）g（x）是一个n-k次多项式； （3）g（x）多项式中必有一个常数1。

例6.7 已知循环码的生成多项式为g（x）=x3+x+1，当信息位为1000时，写出它的监督位和整个码组。

12、循环码编码方法的掌握（码多项式的按模运算等）

编码步骤：

用xn - k乘m(x)。这一运算实际上是在信息码后附加上(n – k)个“0‖。例如，信息码为

xn?km(x)r(x)?Q(x)?g(x)g(x)110，它相当于m(x) = x2 + x。当n – k = 7 – 3 = 4时，xn - k m(x) = x4 (x2 + x) = x6 + x5，它相当于1100000。

用g(x)除xn - k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即 例如，若选定g(x) = x4 + x2 + x + 1，则

xn?km(x)x6?x5x2?12 ?42?(x?x?1)?42g(x)x?x?x?1x?x?x?1

1100000101上式相当于 ?111?1011110111

编出的码组T(x)为 T(x) = xn - k m(x) + r(x) 在上例中，T(x) = 1100000 + 101 = 1100101，它就是上表中的第7码组。 例：已知(7,4)系统循环码的生成多项式为 g ( x) = x3 + x 2 + 1, 若信息码为1001，求编码后的循环码组。 解：信息码多项式为： m( x) = x3 + 1

∴ r ( x) = x + 1

∴ A( x) = ( x3 + 1) x3 + x + 1 = x 6 + x3 + x + 1 对应的码组为1001011。

例：令g（x）=1+x+x2+x4+x5+x8+x10为(15,5)循环码的码生成多项式。 ①写出该码的生成矩阵[G]

②当信息多项式m（x）=x4+x+1时，求码多项式及码字。 ③求出该码的一致校验多项式h（x）。

解：① n?15,k?5,r?10

?x4g(x)??100001101110000? ?3??010000110111000?xg(x)???? 2??G[x]?xg(x)G??001000011011100??? ???xg(x)?000100001101110?? ??g(x)????000010000110111????

② xn?km(x)?x10m(x)?x14?x11?x10

xn?km(x)的余式r(x)?x8?x7?x6?x4?x

g(x)

1411108764故码多项式为， x?x?x?x?x?x?x?x即码字为100110111010010。

x15?1③ h(x)??x5?x3?x?1g(x)