数列章节复习
一、牛刀小试
1、在等差数列?an?中，若S4?1,S8?4，则a17?a18?a19?a20的值为 2、(2009年广东卷文)已知等比数列{an}的公比为正数，且
a3·a9=2a52，a2=1，
则a1= 2a3?a43、设a1,a2,a3,a4成等比数列，其公比为2，则2a1?a2的值为 4、（2010辽宁理）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和。已知a2a4=1, S3?7,则S5? 5、等差数列{an}中，a?0，S为第n项，且S?S，则S取最
1n316n大值时，n的值为
6、等比数列?an?中，a2?a3?6,a2a3?8,则q? 7、已知?an?是等比数列，an＞0，且a4a6+2a5a7+a6a8=36，则a5+a7等于
8、设?an?是由正数组成的等比数列，公比q?2，且
a1a2a3???a30?230，则a3a6a9???a30?__________。
9、关于数列{an}有以下命题：
a：若n?2,且an?1?an?1?2an,则?an?是等差数列；b：若?an?是等差数列，且m，n，k?N?，m?n?2k,则am?an?2ak；c：若n?2,且an?1an?1?an,则?an?是等比数列；2
d：若?an?是等比数列，且m，n，k?N?，m?n?2k,则aman?ak2 其中正确的命题为 a,b,d .（写出序号，写
对但不全的给2分，有选错的不给分） 10、两个等差数列?an?,?bn?,a1?a2?...?an7n?2a?,则5b1?b2?...?bnn?3b5=
11、已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，An7n＋45an
且＝，则使得为整数的正整数n的个数是 Bnn＋3bn12、若{an}是等差数列，首项a1?0，a2007?a2008?0，a2007?a2008?0，则使前n项和Sn
二、例题研究
例1、（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项。
（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。
（3）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若S3＝1，则S6S6?0成立的最大自然数n是
3S12＝ 。 解：（1）答案：13 法1：设这个数列有n项
3?2?S?3a?d1?32??S∵??3?Sn?Sn?3?3a1?3nd?6d ?n(n?1)?Sn?a1n?d2??
??3(a1?d)?34?∴?3a1?3d(n?2)?146 ?n(n?1)d?a1n??390?2∴n＝13
法2：设这个数列有n项 ∵a1?a2?a3?34,an?an?1?an?2?146
∴(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?3(a1?an)?34?146?180 ∴a1?an?60 又n(a1?an)?390 ∴n＝13
2（2）答案：2 因为前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝
S33＝4
又a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8， 把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3，
∴x－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选B. （3）答案为
3。 102
例2、等差数列{an}中，Sn 为其前n项和，若S10?100,S100?10,求S110
例3、（1）已知数列{log2(an?1)}n?N*)为等差数列，且a1?3,a3?9. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）证明
111?????1. a2?a1a3?a2an?1?an分析：（1）借助a1?3,a3?9.通过等差数列的定义求出数列
{log2(an?1)}n?N*)的公差，再求出数列{an}的通项公式，（2）求
和还是要先求出数列{进行求和。
1}的通项公式，再利用通项公式an?1?an解：（1）设等差数列{log2(an?1)}的公差为d，
由a1?3,a3?9得:2(log22?d)?log22?log28, 即d=1。
所以log2(an?1)?1?(n?1)?1?n,即an（II）证明：因为
所以
?2n?1.
111?n?1?an?1?an2?2n2n，
1111111?????1?2?3???na2?a1a3?a2an?1?an2222111?n? ?222?1?1n?1.
121?2例4、已知数列｛an｝为等差数列，公差d≠0，｛an｝的部分项组成下列数列：ak，ak，…，ak，恰为等比数列，其中
12nk1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1＋k2＋k3＋…＋kn.
解：设｛an｝的首项为a1，∵ak、ak、ak成等比数列，
123∴（a1＋4d）＝a1（a1＋16d）. 得a1＝2d，q＝
n2
ak2ak1＝3.
n－1
n∵ak＝a1＋（kn－1）d，又ak＝a1·3∴kn＝2·3
n－1
，
－1.
n－1
∴k1＋k2＋…＋kn＝2（1＋3＋…＋3
1?3n
＝2×
1?3
）－n
－n＝3－n－1.
n
例5、在等差数列?an?中，已知a1?a2?a3?9，a2?a4?a6?21. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn?2n?an，求数列{bn}的前n项和Sn.
（Ⅰ）在等差数列?an?中，由 a1?a2?a3?3a2?9,得,a2?a1?d?3 又由a2?a4?a6?3a4?21，得a4?a1?3d?7, 联
立
解
得
a1?1,d?2 ,
3分 则数列3分
（Ⅱ）?bn?2n?an?(2n?1)?2n， ∴Sn?1?2?3?22?5?23???(2n?1)?2n ……（1）
{an}的通项公式为
an?2n?1.
2Sn?1?22?3?23?5?24???(2n?3)?2n?(2n?1)?2n?1…（2）
（1）、（2）两式相减，
?Sn?2?2(22?23???2n)?(2n?1)?2n?1
8(1?2n?1)?(2n?1)?2n?1?6?(2n?3)?2n?1 得 Sn??2?1?2例6、（2010广东）．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N
（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求sn;
1（3）设bn＝ ( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn( n∈
n(12－an)m
N)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N，均有Tn＞
32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。 解：（1）由an＋2＝2an＋1－an?an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}a4－a1成等差数列，d＝ ＝－2，∴an＝10－2n
4－1
（2）由an＝10－2n≥0得n≤5，∴当n≤5时，Sn＝－n＋9n，当n>5时，Sn＝n－9n＋40
2
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