全国名校高三数学综合优质试题汇编(附详解) 平面解析几何1

全国名校高三数学综合优质试题汇编（附详解） 平面解析几何

y

21．解 (1)设T(x，y)，则直线TA的斜率为k1＝，

x＋4y

直线TB的斜率为k2＝. x－4

3yy3

于是由k1k2＝－，得·＝－，

44x＋4x－4x2y2

整理得＋＝1.

1612

(2)当直线PQ的斜率存在时， 设直线PQ的方程为y＝kx＋2，

点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

22xy??16＋12＝1，

直线方程与椭圆方程联立?

??y＝kx＋2，

得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0， Δ＝(16k)2－4(4k2＋3)×(－32)>0. 16k32

所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－2，

4k＋34k＋3→→→→

从而OP·OQ＋MP·MQ

＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)] ＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 －80k2－528＝＝－20＋， 22

4k＋34k＋3

52→→→→所以－20

3→→→→

当直线PQ的斜率不存在时，OP·OQ＋MP·MQ的值为－20. →→→→综上所述，OP·OQ＋MP·MQ的取值范围为

?－20，－52?.

3??

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x

22.解 (1)由题意，得椭圆的方程为＋y2＝1，

4直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2， y＝kx(k>0)，

如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1

2

故x2＝－x1＝21＋4k

2

，

→→

由ED＝6DF知x0－x1＝6(x2－x0)， 15

得x0＝(6x2＋x1)＝x2＝

77

1071＋4k

，

2

由点D在直线AB上知，x0＋2kx0＝2， 22

得x0＝，所以＝

1＋2k1＋2k7101＋4k

，

2

32

化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝或k＝.

83(2)根据点到直线的距离公式知， 点E，F到AB的距离分别为

|x1＋2kx1－2|2?1＋2k＋1＋4k2?

h1＝＝，

255?1＋4k?|x2＋2kx2－2|2?1＋2k－1＋4k2?

h2＝＝，

255?1＋4k?又|AB|＝

22＋1＝5，

所以四边形AEBF的面积为