2019年最新中考数学专题复习：创新、开放与探究型问题-知识讲解(提高)及答案解析

3．如图(1)，四边形ABCD中，AD与BC不平行，现给出三个条件：①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD，③AD＝BC．请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出ABCD是等腰梯形，并加以证明(只需证明一种情况)．

【思路点拨】

有两种方法，第一种是：①∠CAB=∠DBA，②AC=BD；第二种是：②AC=BD，③AD=BC，均可利用等腰梯形的判定方法进行验证．

【答案与解析】

解：第一种选择：

①∠CAB＝∠DBA，②AC＝BD． 证明：由△ACB≌△BDA，

可得AD＝BC，∠ABC＝∠BAD．

如图(2)作DE∥BC交AB于点E，则∠DEA＝∠CBA． ∴∠DAE＝∠DEA，AD＝ED＝BC． 由ED＝BC及DE∥BC知，

四边形DEBC是平行四边形，所以AB∥CD． ∵ AD与．BC不平行，

∴ 四边形ABCD是等腰梯形．

第二种选择：②AC＝BD，③AD＝BC．

证明：如图(3)，延长AD、BC相交于点E．

由△DAB≌△CBA，可得∠DAB＝∠CBA， ∴EA＝EB．

由AD＝BC，可得DE＝CE，∠EDC＝∠ECD． 再由三角形内角和定理可得∠EDC＝∠EAB， ∴DC∥AB．

∵AD与BC不平行，

∴四边形ABCD是等腰梯形．

【总结升华】此题一道开放性的题目，主要考查学生对等腰梯形的判定的掌握情况． 举一反三：

【高清课堂：创新、开放与探究型问题 例3】

【变式】如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1=70°，求∠MNK的度数． （2）△MNK的面积能否小于

1？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由． 2（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．

（备用图）

【答案】

解：（1）∵ABCD是矩形， ∴AM∥DN． ∴∠KNM=∠1． ∵∠1=70°，

∴∠KNM=∠KMN=70°．

（2）不能．

过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1． ∵∠KNM=∠KMN， ∴MK=NK， 又MK≥ME， ∴NK≥1．

∴△MNK的面积=NK?ME≥． ∴△MNK的面积不可能小于． （3）分两种情况：

情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合． MK=MD=x，则AM=5﹣x．

222

由勾股定理得1+（5﹣x）=x， 解得x=2.6． ∴MD=ND=2.6．

S△MNK=S△MND==1.3．

情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC． MK=AK=CK=x，则DK=5-x． 同理可得MK=NK=2.6． ∵MD=1 ∴S△MNK=S△MND=

=1.3．

△MNK的面积最大值为1.3．

类型四、动态探究型

4．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．

（1）求证：EF=EG；

（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：

（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求【思路点拨】

（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可

利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；

（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI≌Rt△GEH，则问题得证；

（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【答案与解析】

解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，

EF的值． EG

∴∠DEF=∠GEB， 又∵ED=BE，

∴Rt△FED≌Rt△GEB， ∴EF=EG；

（2）成立．

证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，

则EH=EI，∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°， ∴∠IEF=∠GEH， ∴Rt△FEI≌Rt△GEH， ∴EF=EG；

（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，

则∠MEN=90°， ∴EM∥AB，EN∥AD．

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

NECEEMCE?,?， ADCAABCANEEMNEADb???， ∴，即ADABEMABa∴

∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°， ∴∠GEM=∠FEN， ∵∠GME=∠FNE=90°， ∴△GME∽△FNE，

EFEN?， EGEMEFb?． ∴

EGa∴

【总结升华】此题考查了正方形、矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．