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2011年学而思杯中学生理科能力大赛
初 一 数 学 试 卷
学校______________ 姓名_________ 准考证号________ 成绩_________
考 生 须 知 1．本试卷共4页，两道大题，16道小题，满分100分。考试时间60分钟。 2．答题前，请考生务必用蓝、黑色字迹的圆珠笔、签字笔或钢笔准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．请将所有题目的答案全部写在对应题目的后面。除画图外，请不要用铅笔答题。 4．考试结束，将本试卷和草稿纸一并交回。
一、填空题（本题共60分，每小题5分）
1. 计算：???3?1712?920?1130?1342?15?3????2??56? _________．
2. 如图，MN∥PQ，A、B分别在MN、PQ上，?ABP?70?，
BCCMPANBQ平分?ABP，且?CAM?20?，则?C的度数为______________．
3. 当x?2时，代数式ax3?bx?1的值等于?17，那么当x??1时，代数式12ax?3bx3?5的值 等于__________．
4. 已知关于x的方程3?x?2?x?????a??3x?a1?5x那么这个解是x?_______． ??1有相同的解，???4x和
3??128
5. 已知△ABC中，?BAC?90?，AD?BC，BE?AC，且AD、BE交于点H，连接CH，
则?ACH??BAE?_______．
6. a、b、c三个有理数满足a?0?b?c，且a?b?c?1，M?则M、N、P之间的大小关系是________________．
7. 如图，△ABC中，D在AC上，E在AB上，且BD、CE相交于O，
OB?ODb?ca，N?a?cb，P?a?bc，
A，OC?2OE，若S△BOC?2，则S△ABC?__________．
BEDOC
第1页 （共6页）
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8. 平面直角坐标系xOy中有两个点A??4，4?，B??6，?2?，则△AOB的面积为___________．
9. 若关于x的方程?a?4?x?b??bx?a?2有无穷多个解，则a3?3b2的值为__________．
10. 如图，△ABC中，?C?90?，?ABC和?EAC的平分线交于点D，
?ABDEADF和?BAD的平分线交于点F，则?AFB的度数为_________．
11. 若2m?1?2m?3?4，则m的取值范围是_____________
CB
12. 已知△ABC中，AB?AC，D为BC边上一点，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，
则?C的度数为_______________．
二、解答题（本题共40分，每小题10分）
13. 如图，M、N为四边形ABCD的边AD、BC的中点，AN、BM交于P点，CM、DN交于Q点．
若四边形ABCD的面积为150，四边形MPNQ的面积为50，求阴影部分的面积之和．
APMQDBNC
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14. 数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数问题转化为几何问题，
也可以将几何问题转化为代数问题。通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果。教科书中利用几何图形证明乘法公式?a?b??a2?2ab?b2的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a、b分别表示一条线段的长度，则a?b可以表示两条线段之和，那么
abab2abab?a?b?就可以表示正方形的面积。同样，a2、ab、b2也可以表示相应部分的
面积，那么利用这种方法，就可以证明公式的正确性。
⑴ 请你根据上述材料推导乘法公式?a?b?c?的展开结果．
22⑵ a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2均为正数，且a1?a2?b1?b2?c1?c2?d1?d2?k， 其中a1≤c2，d1≤b2，求证：a2b1?b2c1?c2d1?d2a1≤k2，并写出等号成立的条件．
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15. 已知x1、x2、x3、x4、x5是非负实数，且x1?x2?x3?x4?x5?2011．M是x1?x2、x2?x3、x3?x4、
x4?x5的最大值，求M的最小值m．
16. 定义：?x?表示不超过x的最大整数，?x?表示数x的小数部分，即?x??x??x?．
假设a?0，且????a2?，2?a2?3，求a6?2a4?a2?2a??a??1?1a?5的值．
中学生理科能力大赛
初一数学答案及评分标准
一、填空题（每小题5分，答对得5分，答错、不答或答不全均不得分） 题号 1 2 3 4 5 6
答案 1 15? 题号 7 8 9 10 11 12 m≥答案 12 16 30 112.5?22 x?2728 3290? 12或m≤? M?P?N45?或36?第4页 （共6页）
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