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由a?a?1?0，得a?1?a， 所以： a3?2a2?2007
22?a2a?2a2?2007?(1?a)a?2a2?2007?a?a2?2a2?2007?a?a2?2007?1?2007?20082解法三（降次、消元）：a?a?1（消元、、减项）
a3?2a2?2007?a3?a2?a2?2007
?a(a2?a)?a2?2007?a?a?2007?1?2007?20082
例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？ 分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元） 第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050 第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250 第n年：A公司 10000+200(n-1）；
B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。
abcabacbc?????例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x?， abcabacbc则 ax?bx?cx?1的值是_______ 。
解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数
又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。 不妨设a<0，b>0，c>0 则ab<0，ac<0，bc>0
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。
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同理，当b<0，c<0时，x=0。 另：观察代数式
abcabacbc，交换a、b、c的位置，我们发现代?????abcabacbc数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。
规律探索问题：
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始
按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
AB（1）“17”在射线 ____上，
8 “2008”在射线___________上． 7 2 1 （2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的 9 3 C代数式表示为__________________________． 4 O6 12 10 5 11 分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，…
观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， ED 归纳得到，这列数可以表示为6n-5
因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。
因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上
例8． 将正奇数按下表排成5列:
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25
L L L 根据上面规律，2007应在
A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列 分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27，L 规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1
所以，2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列，
所以2007应该在第251行第5列
例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；
nnkk②当n为偶数时，结果为2（其中k是使2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例
F如，取n＝26，则：
F② 第一次
F① 第二次
F② 第三次
26 13 44 11
…
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若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．
nk分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为2nk（其中k是使2 为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。
449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169， 169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1， 1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，
所以，结果是8。
三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
第三讲：与一元一次方程有关的问题
一、知识回顾
一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。 典型例题：
二、典型例题
例1．若关于x的一元一次方程
2x?kx?3k?=1的解是x=-1，则k的值是（ ） 32213A． B．1 C．- D．0
711因为x=-1是关于x的一元一次方程
分析：本题考查基本概念“方程的解”
2x?kx?3k?=1的解， 32一家人精品教育
2?(?1)?k?1?3k13??1，解得k=-
32113a?x例2．若方程3x-5=4和方程1??0的解相同，则a的值为多少？
3所以
分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。 解：3x-5=4， 3x=9， x=3 因为3x-5=4与方程 1?3a?x?0的解相同 33a?x所以把x=3代人1??0中
33a?3即1??0 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2
3
例3.（方程与代数式联系）
a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 ab?ad?bc.
cd（1）则12的值为 ；（2）当
24?12(1?x)5?18 时，x= .
分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2，
因为ab?ad?bc，所以12=2-（-2）=4
cd?12 （2）由
24(1?x)5?18 得：10-4（1-x）=18
所以10-4+4x=18，解得x=3
例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖
好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）
不考虑瓶子的厚度.
A．
abhh B． C． D． a?ba?ba?ha?b分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题
解：设墨水瓶的底面积为S，则左图中墨水的体积可以表示为Sa 设墨水瓶的容积为V，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb 于是，Sa= V-Sb，V= S(a+b)
由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为
SaSaa?? VS(a?b)a?b
例5． 小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了
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饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人，
题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+ 解：设开始时，每队有x人在排队，
2分钟后，B窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2 根据题意，可列方程：
1 2xx?21?2?? 462 去分母得 3x=24+2(x-2)+6
去括号得3x=24+2x-4+6 移项得3x-2x=26 解得x=26
所以，开始时，有26人排队。
课外知识拓展：
一、含字母系数方程的解法：
思考：ax?b是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以ax?b不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 例6．解方程ax?b
解：（分类讨论）当a≠0时，x?
b
a
当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解
当a=0，b≠0时，即 0x=b，方程无解 即方程ax?b的解有三种情况。
例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。 解： 将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4 当2+b0，即b-2时，方程有唯一解x?a?4， 2?b当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解， 当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a≠4时，方程无解， 例 8． 解方程
x?11?xa?b?? abab分析：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab
去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b 去括号，得bx-b-a+ax=a+b 移项，并项得 (a+b)x=2a+2b 当a+b≠0时，x?2a?2b=2
a?b
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