1.2 充分条件与必要条件
第一课时 充分条件与必要条件
填一填 充分条件与必要条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作p?q.此时我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 判一判 1.若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．(√) 2．若p是q的充分条件，则綈p是綈q的充分条件．(×) 3．“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件．(×) 4．x＝2是x2－4x＋4＝0的必要条件．(√)
5．圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件．(√) 6．sin α＝sin β是α＝β的充分条件．(×) 7．ab≠0是a≠0的充分条件．(√)
8．x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件．(√) 想一想 1.若p是q的充分条件，p是唯一的吗？ 不一定唯一，凡是能使q成立的条件都是它的充分条件，如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等都是x>0的充分条件．
2．怎样判断充分条件与必要条件？
(1)充分条件与必要条件的判断，关键是判断由p能否推出q，及由q能否推出p.
(2)从命题的真假判断：“若q，则p”为真命题时，则p是q的必要条件．“若q，则p”为假命题时，则p不是q的必要条件．
3．怎样理解“p?q”
对于“p?q”，蕴含以下多种解释： ①“若p，则q”形式的命题为真命题； ②由条件p可以得到结论q；
③p是q的充分条件或q的充分条件是p；
④只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的； ⑤q是p的必要条件或p的必要条件是q； ⑥为得到结论q，具备条件p就可以推出． 思考感悟：
练一练
1．已知直线a，b，c，“a∥ b”的充分条件是( ) A．a⊥c，b⊥c B．a∩b＝? C．a∥c，b∥c D．a∥c，b⊥c 答案：C
2．已知：p：x>1，q：x>2；则p是q的( ) A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．以上答案均不正确 答案：B
3．a2>b2的一个充分条件是( ) A．a>b B．a
C．a＝b D．a＝2，b＝1 答案：D
4．已知p：tan α＝tan β，q：α＝β，则有( ) A．q?p B．p?q C．q?p D．p?q 答案：C
知识点一 用定义法判断充分条件，必要条件
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若a＋b＝0，则a＝－b，a∥b.若a∥b，则a与b同向或反向，此时，a＋b＝0不一定成立．
∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件． 答案：A 2．已知四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“四边形ABCD为菱形”?“AC⊥BD”，但是“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形，所以四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四
边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．故选A.
答案：A 知识点二 用集合法判断充分条件、必要条件 3.设集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，那么“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(A∩B)?(A∪B)，
即“x∈A∩B”?“x∈A或x∈B”．
∴“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的必要不充分条件． 答案：B
4．设p：1
D．既不充分也不必要条件
解析：设A＝{x|1
∴p是q成立的充分不必要条件． 答案：A 知识点三 充分与必要条件的应用 5.若“x2＋ax＋2＝0”是“x＝1”的必要条件，则a＝________. 解析：由题意知，“x＝1”?“x2＋ax＋2＝0”．
∴12＋a×1＋2＝0，a＝－3. 答案：－3
3
6．已知“x>k”是“<1”的充分条件，则k的取值范围是________________．
x＋13－x－133
解析：由<1，得，－1<0，<0，
x＋1x＋1x＋12－xx－2<0，>0. x＋1x＋1解得x<－1或x>2.
由题意知{x|x>k}?{x|x<－1或x>2}． ∴k≥2.
答案：[2，＋∞)
综合应用 7.记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________________．
解析：由于A＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3
答案：(－∞，－3]
8．命题p：－2 解析：设关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根x1，x2，则x1＋x2＝－m，x1·x2 ＝n，∵0 n＝时，方程x2－x＋＝0没有实数根，这说明p不是q的充分条件． 44 基础达标 一、选择题 1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．既是充分条件也是必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．故选A. 答案：A 2．设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．既是充分条件，也是必要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件 解析：若a·b＝|a||b|，则a与b同向，所以a∥b；若a∥b，则a与b同向或反向，所以a·b＝±|a||b|，推不出a·b＝|a||b|，故选A. 答案：A 3．“a，b，c∈R，b2－4ac<0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立时，b2－4ac<0.必要性成立． 当b2－4ac<0时，ax2＋bx＋c>0(a>0)恒成立或ax2＋bx＋c<0(a<0)恒成立，充分性不成立． 答案：B 4．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a D．既不充分也不必要条件 解析：由(a－b)a2<0知，a2>0，a－b<0，即a 答案：A 5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )
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