证 如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得
所以 F′B=FB，
即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．
塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．
例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．
证 (1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则
由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．
(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则
由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．
(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．
(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有
BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc， EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB， 所以
由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点．
(ii)当△ABC是钝角三角形时，有
BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，
EA=ccos(180°-A)=-ccosA， AF=bcos(180°-A)=-bcosA,
FB=acosB，
所以
由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．
(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．
例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点．
证 如图3－104．设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等
于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即
其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理
将上述三式相乘得
根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点．
3．斯台沃特定理
定理 △ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则
证 过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有
AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，
(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得
消去x得
(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，
这就是中线长公式．
(2)当AD是△ABC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质
设a+b+c=2p，得
这就是内角平分线长公式．
(3)当AD是△ABC的高时，
AD2=b2-u2=c2-v2．
再由u+v=a，解得
所以
若设AD=ha，则
这就是三角形的高线长公式．当D在BC的延长线上时，用-v代替v，同样可得高线长线公式．
这就是三角形的面积公式．
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