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∴∴∴
．
，
=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，
∵b+c=3，①b＞c，a=，可得：bc=2，② ∴解得：b=2，c=1．
故b的长为2，c的长为1．
19．如图，平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证AE⊥平面BCE； （2）设
，是否存在λ，使二面角B﹣AC﹣E的余弦值为
？若存在，求λ的值；
若不存在，说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）由BF⊥平面ACE，利用线面垂直的性质定理可得：BF⊥AE．利用正方形的
BC⊥AB，CB⊥AE． 性质可得：再利用面面垂直的性质定理可得：即可证明AE⊥平面BCE．
（2）通过建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可得出二面角，进而解出λ． 【解答】（1）证明：∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BF⊥AE．
∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是边长为2的正方形，BC⊥AB， ∴CB⊥平面ABE．
∴CB⊥AE．又BF∩BC=B， ∴AE⊥平面BCE．
（2）解：以A为原点，垂直于平面ABCD的直线AG为x轴，AB所在直线为y轴，AD为z轴，
如图所示建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（0，2，0），C（0，2，2）． 假设存在λ，使二面角B﹣AC﹣E的余弦值为设E（a，b，0），则
，
．
桑水
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设平面AEC的一个法向量，则，即，解得
令y=a，得
又平面BAC的一个法向量为
是平面EAC的一个法向量．
，
，化简得a2=b2①，
，即a2+b（b﹣2）=0②，
由
又∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE，∴联立①②，解得b=0（舍），b=1． 由
，
，∴AE=BE．
．
∴当λ=1时，二面角B﹣AC﹣E的余弦值为
20．已知F1和F2是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，
）在该椭圆上，且PF1⊥x轴．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点A（2，0）作直线l交椭圆于不同的两点B，C，证明：不存在直线l，使得|BF2|=|CF2|．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）通过点P（﹣1，
）在该椭圆上且PF1⊥x轴可知焦点坐标，利用椭圆定义
可知a=，进而计算可得结论；
（2）利用反证法证明，假设满足题意的直线l方程为x=my+2，与椭圆方程联立，结合韦达定理及两点间距离公式化简可知当|BF2|=|CF2|时有m（4+3m2）=0，从而得出结论．
桑水
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【解答】（1）解：∵点P（﹣1，
）在该椭圆上，且PF1⊥x轴，
∴椭圆方程焦点为（﹣1，0），（1，0）， 2a=|PF1|+|PF2|=
+
=2
，即a=
，
又∵b2=a2﹣c2=2﹣1=1， ∴椭圆的标准方程为：
+y2=1；
（2）证明：假设过点A（2，0）与椭圆相交的直线l的方程为：x=my+2， 并与椭圆方程联立，消去x整理得：（2+m2）y2+4my+2=0， 设B（x1，y1），C（x2，y2），则y1+y2=∵|BF2|=|CF2|，F2（1，0）， ∴
+
=
+
，
，y1y2=﹣
，
整理得：（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）=（y2﹣y1）（y2+y1）， 化简得：（1+m2）（y1+y2）+2m=0， ∴（1+m2）?
+2m=0，
∴m（4+3m2）=0，
解得：m=0，而此时显然|BF2|≠|CF2|，矛盾， 故不存在直线l，使得|BF2|=|CF2|．
21．已知对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x3﹣3ax（a∈R）相切． （I）求实数a的取值范围；
（II）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．试证明你的结论．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程；反证法与放缩法． 【分析】（I）由直线x+y+m=0得直线斜率为﹣1，直线x+y+m=0不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，得实数a的取值范围；
桑水
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（II）转化问题，等价于当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|max≥，设g（x）=|f（x）|，观察出g（x）在[﹣1，1]上是偶函数，只需求g（x）在[0，1]上的最大值，求函数单调性时，因为含有参数，所以要对参数进行讨论，分为两类求解，在每一类都可证明g（x）max≥，问题得证．
【解答】解：（I）f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），
∵对任意的实数m，直线x+y+m=0都不与曲线f（x）=x3﹣3ax（a∈R）相切， ∴﹣1?[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，∴实数a的取值范围为a＜； （II）存在，证明：问题等价于当x∈[﹣1，1]时，|f（x）|max≥， 设g（x）=|f（x）|，则g（x）在[﹣1，1]上是偶函数， 故只要证明当x∈[0，1]时，
，
①当a≤0时，f′（x）=3x2﹣3a≥0，f（x）在[0，1]上单调递增，且f（0）=0，g（x）=f（x）， g（x）max=f（1）=1﹣3a＞1＞； ②当0＜a＜时，f′（x）=3x2﹣3a=3（x+
）（x﹣
），
令f′（x）＜0，得0＜x＜，令f′（x）＞0得＜x＜1， ∴f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， 注意到，且＜＜1， ∴x∈（0，）时，g（x）=﹣f（x），x∈（，1]时，g（x）=f（x）， ∴g（x）max=max{f（1），﹣f（）}， 由∴由∴
及及
，解得．
，解得．
，此时
成立．
，此时
成立．
∴在x∈[﹣1，1]上至少存在一个x0，使得|f（x0）|≥成立，
即当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上至少存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于．
选考题（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
桑水
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