(2004-2012)试题

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数 学三试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 若lim??(?a)ex??1，则a等于

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

(2) 设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y?p(x)y?q(x)x的两个特解，若常数?，

'?1x?0x?1x??u使?y1?uy2是该方程的解，?y1?uy2是该方程对应的齐次方程的解，则（）

1111，?? （B）???，??? 22222122（C）??，?? （D）??，??

3333（A）??(3) 设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g(x)?0。若g(x0)=a是g(x)的极值，则

\f?g(x)?在x0取极大值的一个充分条件是（）

（A）f(a)?0 （B）f(a)?0 （C）f(a)?0 （D）f(a)?0

(4) 设f(x)?lnx，g(x)?x,h(x)?e,则当x充分大时有（） （A）g(x)?h(x)?f(x) （B）h(x)?g(x)?f(x) （C）f(x)?g(x)?h(x) （D）g(x)?f(x)?h(x)

(5) 设向量组Ⅰ：?1，?2，??r可由向量组Ⅱ：?1，?2，??s线性表示，下列命题正确的是

（A）若向量组Ⅰ线性无关，则r?s （B）若向量组Ⅰ线性相关，则r?s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则r?s （D）若向量组Ⅱ线性相关，则r?s

2(6) 设A为4阶实对称矩阵，且A?A?0,若A的秩为3，则A相似于

''\\10x10生命不息 加油！ - 13 - 加油！ 奋斗不止

?1??1??1??1?? （B）?? （A）???1??1?????00?????1???1???1????1? （D）?? （C）????1??1?????00?????0?1?(7) 设随机变量的分布函数F(x)???2?x??1?e（A）0 （B）

x?00?x?1，则P?X?1?? x?11?11?1 （C）?e （D）1?e

22(8) 设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为??1,3?上的均匀分布的概率密度，

?af1(x)x?0若f(x)??(a?0,b?0)为概率密度，则a,b应满足

bf(x)x?0?2（A）2a?3b?4 （B）3a?2b?4 （C）a?b?1 （D）a?b?2

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 设可导函数y?y(x)由方程

?x?y0e?tdt??xsint2dt确定，则

02xdydx?______.

x?0(10) 设位于曲线y?1x(1?lnx)2x轴上方的无界区域为G,则G(e?x???)下方，

绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是______.

3(11) 设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1?p，其中p为价格，且R(1)?1，

则R(p)?______.

(12) 若曲线y?x?ax?bx?1有拐点(?1,0),则b?______.

?1?1(13) 设A，B为3阶矩阵，且A?3，B?2，A?B?2，则A?B?______.

32生命不息 加油！ - 14 - 加油！ 奋斗不止

(14) 设x1，x2，xn为来自整体N(?,?2)(??0)的简单随机样本，记统计量

1n2T??Xi，则ET?______.

ni?1三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分) 求极限lim(x?1)x???1x1lnx

(16) (本题满分10分) 计 算二重积分

23Dx?1?y，其中由曲线与直线x?2y?0及(x?y)dxdy??Dx?2y?0围成。

(17) (本题满分10分)

求函数u?xy?2yz在约束条件x2?y2?z2?10下的最大值和最小值 (18) (本题满分10分) （Ⅰ）比较

?10lnt?ln(1?t)?dt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小，说明理由

0n1（Ⅱ）设un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?)，求极限limun

n??n(19) (本题满分10分) 设函数f(x)在

2?0,3?上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且

2f(0)??f(x)dx?f(2)+f(3)，

0（Ⅰ）证明：存在??(0,2)，使f(?)?f(0) （Ⅱ）证明：存在??(0,3)，使f(?)?0 (20) (本题满分11分)

\11????a?????设A?0??10，b?1 ??????1???1??1??已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解 （Ⅰ）求?，a

生命不息 加油！ - 15 - 加油！ 奋斗不

止

（Ⅱ）求方程组Ax?b的通解 (21) (本题满分11分)

?0?14???设A??13a，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列为????4a0??1T,求a，Q (1,2,1)6(22) (本题满分11分)

设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)?Ae?2x2?2xy?y2，

???x???,???y???,求常数A及条件概率密度fYX(yx)

(23) (本题满分11分)

箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3，现在从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，

（Ⅰ）求随机变量(X，Y)的概率分布 （Ⅱ）求Cov(X，Y)

生命不息 加油！ - 16 - 加油！ 奋斗不止