（2）设函数f(x)恰有两个零点x1，x2?x1?x2?，求证：x1?x2?0.
【答案】(1) 函数f?x?在?lna,???上单调递增，在???,lna?上单调递减．(2)见证明 【解析】 【分析】
（1）利用函数的导数，讨论a可求得函数f?x?的单调区间； （2）方法一：由f(x)?ex?ax?a?0，得
x?11x?11??0g(x)?? ，则g(x1)?g(x2)?0，，记xxeaea利用函数的单调性和分析法可求证：x1?x2?0．
xx方法二：由f(x1)?f(x2)?0，得e1?a?x1?1?,e2?a?x2?1?，，表达x1?x2，构造新函数
h(t)?lnt?2(t?1)，利用函数求最值即可证明． t?1xx【详解】（1）因为f(x)?e?ax?a，所以f??x??e?a.
当a?0时，f??x??0，函数f?x?在???,???上单调递增； 当a?0时，f??x??0?x?lna，f??x??0?x?lna， 所以函数f?x?在?lna,???上单调递增，在???,lna?上单调递减．
（2）由（1）知，函数f(x)有两个零点时，a?0且f(lna)??alna?0，解得a?1. 方法一：
由f(x)?e?ax?a?0，得记g(x)?xx?11??0. xeax?11?，则g?x1??g?x2??0. xeax因为g?(x)??x，所以g(x)在?0,???上单调递减，在???,0?单调递增．
e11因为g(?1)???0，g(0)?1??0，所以1??x1?0，从而0??x1?1．
aa要证x1?x2?0，只需证x2??x1，只需证g?x2??g??x1?．
x1?1?x1?1?x1?1?e1?x1?1即证g?x2??g??x1??g?x1??g??x1????x1??0. 47eee2x设h(x)??x?1?e?x?1??1?x?0?，则h?(x)??2x?1?e2x2x?1．
设m(x)??2x?1?e2x?1，则m?(x)?4xe2x?0，从而m(x)在??1,0?单调递减，
所以m(x)?m(0)?0，即h?(x)??2x?1?e2x?1?0，从而h(x)在??1,0?单调递增，
所以h(x)?h(0)?0，即g?x2??g??x1??0，
所以g?x2??g??x1?，从而x2??x1，所以x1?x2?0． 方法二：
xx由f(x1)?f(x2)?0，得e1?a?x1?1?，e2?a?x2?1?，
于是x1?lna?ln?x1?1?，x2?lna?ln?x2?1?，所以x2?x1?lnx2?1． x1?1x2?1?t(t?1)，则x2?1?t?x1?1?， 令
x1?1于是x2?x1??x2?1???x1?1??lnt． 所以x1?1?ttlnt(t?1)lnt，x2?1?，x1?x2?2?． t?1t?1t?1(t?1)22(t?1)?0，所以h(t)在?1,???单调递增， 当h(t)?lnt?，则h?(t)?t(t?1)t?1所以h(x)?h(1)?0，即lnt?所以x1?x2?0.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，解答中通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而作出证明；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
2(t?1)?0， t?1
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