∴Q2（3，-4）.因此，符合条件的点有两个，分别是Q1（3，0），Q2（3，-4）.
３．（2011灌南县新集中学一模）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）是否存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出
此时t的值；若不存在，请说明理由； （4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？
Q D A
M
C B N P
答案：．解：（1）由题意知，四边形ABNQ为矩形，∴BN＝AQ＝3－t ∴NC＝BC－BN＝4－(3－t)＝1＋t．
在Rt△ABC中，AC ＝AB ＋BC ＝3 ＋4 ＝25，∴AC＝5 在Rt△MNC中，cos∠MCN＝
2
2
2
2
2
NCBC45＝＝ ∴MC＝(1＋t) MC54AC（2）∵QD∥PC，∴当QD＝PC时，四边形PCDQ构成平行四边形 ∴t＝4－t，∴t＝2 ∴当t＝2时，四边形PCDQ构成平行四边形． （3）若射线QN将△ABC的周长平分，则有MC＋NC＝AM＋BN＋AB 即
51533(1＋t)＋1＋t＝(3＋4＋5) 解得t＝．而MN＝NC＝(1＋t) 423442 1133NC·MN＝(1＋t)×(1＋t)＝(1＋t)2248∴S△MNC ＝当t＝而
53528时，S△MNC ＝(1＋)＝ 33831111S△ABC ＝××4×3＝3，∴S△MNC ≠S△ABC 2222∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分 （4）若△PMC为等腰三角形，则：
①当MP＝MC时（如图1），则有：NP＝NC 2即PC＝2NC，∴4－t＝2(1＋t) 解得t＝．
3511当CM＝CP时（如图2），则有：(1＋t)＝4－t 解得t＝． 49③当PM＝PC时（如图3），则有： 在Rt△MNP中，PM ＝MN ＋PN 又MN＝
2
2
2
PN＝NC－PC＝(1＋t)－(4－t)＝2t－3
222 3103∴[(1＋t)]＋(2t－3)＝(4－t)解得t1＝，t2＝－1（不合题意，舍去）
457211103综上所述，当t＝或t＝或t＝时，△PMC为等腰三角形．
3579 A Q D A Q D A Q M D 33NC＝(1＋t) 44M B C B C B C P N P N N P 图1 图2 图3
４. （2011浙江杭州育才初中模拟）《天天伴我学数学》一道作业题。如图1：请你想办法求出五角星中?A??B??C??D??E的值。由于刚涉及到几何证明，很多学生不知道如何求出其结果。下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：①观察图像，各个角的度数能分别求出他们的度数吗，能的话怎么求，不能的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的度数。有个学生小声的说了句：要是能把这五个角放到一块就好了？老师回答：有想法，就去试试看。很快就有学生发现利用三角形外角性质将∠C和∠E；∠B和∠D分别用外角∠1和∠2表示。于是得到?A??B??C??D??E=?A??1??2?180°。根据以上信息，亲爱的同学们，你能求出图2中?A??B??C??D??E??F??G的值吗？请给予证明。(原创) AAB
F1 B2GQC EGDC图1DM F图 2E
５、（北京四中2011中考模拟13）已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点， 动点P在⊙O2上，且在⊙1 外，直线PA、PB分别交⊙O1于C、D.问：⊙O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD最长和最短时P的位置，如果不发生变化，请你给出证明；
答案：解：当点P运动时，CD的长保持不变，A、B是⊙O1与⊙O2的交点，弦AB与点P的位置关系无关，连结AD，∠ADP在⊙O1中所对的弦为AB，所以∠ADP为定值，∠P在⊙O2中所对的弦为AB，所以∠P为定值.
∵∠CAD =∠ADP +∠P，∴∠CAD为定值，
在⊙O1中∠CAD对弦CD，∴CD的长与点P的位置无关.
６、（北京四中2011中考模拟14）
探究题:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。设A、P两点间的距离为X，探究： （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论。 （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出响应的X的值；如果不可能，请说明理由。
答案：(1):过点P作MN∥BC,分别交AB与点M,交CD于N,则有△AMP和△CNP都是等腰三角形,可证△QNP≌△PMB,得PQ=PB. (2)图(2)由AP=x得AM=PM=NQ=
CAPO2O1DB2x,CQ=CN-NQ=BM-AM=1-2x, 2y=
1122(BC+CQ)= x-2x+1(0≤x＜) 222（3）三角形PCQ为等腰三角形.
①点P与点A重合时，点Q与点D重合,这时PQ=QC, 三角形PCQ为等腰三角形. ②点Q在DC的延长线上时且CP=CQ时，三角形PCQ为等腰三角形。求得x=1.
1)，且经过原点O，与x轴7、（2011年黄冈浠水模拟1）如图1，已知抛物线的顶点为A(2，的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O，C，D，B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标； （3）连接OA，AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． y y A A
B B O O x x
图1 图2
2答案：（1）由题意可设抛物线的解析式为y?a(x?2)?1．?抛物线过原点，
11?0?a(0?2)2?1．?a??．?抛物线的解析式为y??(x?2)2?1，
y 44A 12O 即y??x?x．
4（2）如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，
∥OB． CD B x
D
C 图1
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