1(x?2)2?1?0，得x1?0，x2?4，?B(4，0)，OB?4． 41?D点的横坐标为6．将x?6代入y??(x?2)2?1，
412?3)； 得y??(6?2)?1??3，?D(6，4根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行
由?四边形，此时D点的坐标为(?2，?3)．
当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为(2，1)． （8分） （3）如图2，由抛物线的对称性可知： AO?AB，∠AOB?∠ABO． 若△BOP与△AOB相似，
必须有∠POB?∠BOA?∠BPO． 设OP交抛物线的对称轴于A?点，
y A B E O A? 图2 x
P ?1)，?直线OP的解析式为y??显然A?(2，由?1x． 211x??x2?x，得x1?0，x2?6．?P(6，?3)．过P作PE?x轴， 24在Rt△BEP中，BE?2，PE?3，?PB?22?32?13?4．
?PB?OB．?∠BOP?∠BPO．
?△PBO与△BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
所以在该抛物线上不存在点P，使得△OBP与△OAB相似．
8、（2011年黄冈浠水模拟2）如图二次函数的图象经过点D(0，73)，且顶点C的横坐标
9为4，该图象在x 轴上截得线段AB长为6.
(1)利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A( , )、B( , )； (2)求二次函数的解析式；
(3)该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
(4)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
D O A C B x y
答案：(1) ∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 );
(2)设二次函数的解析式为：y=a(x-h)+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，73)
92
∴y=a(x-4)+k 73?16a?k ??????①
92
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴A(1，0)，B(7，0)
∴0=9a+k ??????②，由①②解得a=3，k=－3，∴二次函数的解析式为：
91637322y=3(x-4)－3或y=3x－x+
99???????????????5分99(3)解法一：∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，∴DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴PM?BM，
DOBO73?33，∴点P的坐标为(4，3)???????8分 9∴PM??373
解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线DB为y=－
373x+ 99o
(4)由⑴知点C(4，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=3，∴∠ACM=60，∵AC=BC，?3)，
3∴∠ACB=120
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，
oo
∠ABQ=120，则∠QBN=60，∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，33)
o
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，?3)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，?3)．??????????14分
9、（2011年杭州模拟17）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，
?
23）三点. 3
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的
点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）（2010昆明中考第25题）
2
答案：（1）设抛物线的解析式为：y?ax2?bx?c(a?0)
??c?0??由题意得：?16a?4b?c?0
??9a?3b?c??23?3?解得：a?2383,b??,c?0 9923283x?x 99∴抛物线的解析式为：y?
（2）存在
（2）抛物线y?l′
2328383x?x的顶点坐标是(2,?， )，作抛物线和⊙M（如图）999设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D
∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC
∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30°
∴DM = 1, CD = CM2?DM2=3 ∴ C (1, 3) 设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k 0)，点B、C在 l 上，可得：
?323?k?b?3,b? 解得： k? ?33?2k?b?0??∴切线BC的解析式为：y?323x? 33
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