线性代数向量空间的练习题

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个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

8.求向量组α1=，α2=，α3=的秩和一个极大无关组. 四、证明题

1．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量 组β1，β2，β3线性无关.

2. 证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?, ?n??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。 3．设向量组?1,?2,?3

线性无关，

且??k1?1?k2?2?k3?3．证明：若k1≠0，则向量组 ?,?2,?3也线性无关．

4. 已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关. 5. 若α1，α2，α3是Ax=b的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

《第四章 向量空间》 自测题 分钟）

1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R上一个向量空间的是。

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R中，分量满足x1+x2+…+xn=0的所有向量； R中，分量是整数的所有向量；

R中，分量满足x1+x2+…+xn=1的所有向量； Rn中，分量满足x1=1，x2，…，xn可取任意实数的所有向量。．设R的一组基为?1,?2,?3,?4,令 nnn

?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??1??4，

则子空间W?{k1?1?k2?2?k3?3?k4?4|ki?F,i?1,2,3,4}的维数为 ，它的一组基为 。. 向量空间Rn 的子空间 W?{|x1?x2?0,x1?xn?1?R}的维数为 它的一组基为。

???a114. 设W是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即W????a ???12 ?a12??

?aij?R?，则它的维数为 ，a22???? 一组基为 。 ? ?a? 5．若A=?b ??0?? 12120 ?0?

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?

0?为正交矩阵，且|A|=－1，则a= ，?1??? ? =。 二、计算题

1.设R3的两组基为： ?1?,?2?,?3?和?1?,?2?,?3?， T T T T T T 向量α=

求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。 求α关于这两组基的坐标。

将?1,?2,?3化为一组标准正交基。

2. 在R中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基， T

?3x1?2x2?5x3?4x4?0? ?3x1?x2?3x3?3x4?0

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?3x?5x?13x?11x?0 234?1

3．已知?1,?2,?3是3维向量空间R3的一组基，向量组?1,?2,?3满足

?1??3??1??2??3,?1??2??2??3,?2?? 3??1??3

证明：?1,?2,?3是一组基。

求由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵。 求向量???1?2?2??3关于基?1,?2,?3的坐标。．已知A是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|A－E|。 三、证明题

1. 设k1??k2??k3??0，且k1k3?0。证明：L?L。. 设A为正交矩阵，证明：A为正交矩阵。

3．设A、B为n阶正交矩阵，且|A|?|B|。证明：A+B为不可逆矩阵。 * 参考答案 一、选择、填空 1． A

2． dimW=3，一组基为?1,?2,?3.

3． dimW=n-2，一组基为?1?T,?2?T,?n?2?T． dimW＝3，一组基为?? ?1?0

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