则
Var(u1*) = (1 - ?2 ) Var(u1) 把（6.19）式代入上式，
Var(u1*) = (1 - ? 2 ) [?v 2 / (1 - ? 2 )] = ?v 2 u1与其他随机误差项的方差相同。
当误差项ut 的自相关具有高阶自回归形式时，仍可用与上述相类似的方法进行广义差分变换。比如ut具有二阶自回归形式，
ut = ?1 ut-1 + ? 2 ut–2 + vt ,
则变换过程应首先求出原模型（t-1）期与（t-2）期的两个关系式，然后利用t期回归式减?1倍的（t-1）期回归式和?2倍的（t-2）期回归式的变换方法建立符合假定条件的广义差分模型。若ut具有k阶自回归形式，则首先求k个不同滞后期的关系式，然后通过广义差分变换使模型的误差项符合假定条件。需要注意的是对二阶自回归形式，作广义差分变换后，要损失两个观测值；对k阶自回归形式，作广义差分变换后，将损失k个观测值。
当用广义差分变量回归的结果中仍存在自相关时，可以对广义差分变量继续进行广义差分直至回归模型中不存在自相关为止。
第六节 克服自相关的矩阵描述
1 克服自相关的矩阵描述
对于线性回归模型
Y = X? + u (6.32) 假定E(u u ') = ? 2I 不成立，误差项ut 具有一阶自回归形式自相关， ut = ? u t -1 + vt 则Var(u) 由 (6.12) 式给出
其中?u2 = ?v 2 / (1 - ? 2)。取
29
（按K. R. Kadiyala 提议补上第一个观测值）使
M ? M ' = ?v 2 I (6.33) 用M左乘（6.32）式，
M Y = M X ? + M u (6.34) 令
Y* = M Y,
X* = M X, u* = M u
则模型（6.34）表示为
Y* = X*? + u* (6.35) 其中
(6.36)
(6.35)式中带*号变量的变换规则与（6.27）和（6.28）式中相应带*号的变量变换规则相同，所以模型 (6.35) 是广义差分变换模型。因为
30
(6.37)
说明变换后模型（6.35）的误差项中不再有自相关。用普通最小二乘法估计 (6.35) 式中的 ?。 则
= (X*' X*)-1 X*' Y*. (6.38)
具有最佳线性无偏特性。 把原数据代入（6.38）式
= [(M X )' (M Y ) ] –1 (M X )' (M Y )
= (X ' M ' M X ) –1 X ' M ' M Y
= (X ' ? -1 X) – 1 X ' ? - 1 Y, (6.39) 其中
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第七节 自相关系数的估计
1 直接取ρ=1
认为ut 的一阶自回归形式是
(6.40)
ut = ut - 1 + vt (6.41)
则 (1.26) 式变为
yt -yt -1 = ?1 (x1 t - x1 t -1) +?2 (x2 t-x2 t-1) +…+?k-1 (xk-1 t-xk-1 t -1) + vt (6.42) 这实际上是对原变量进行一阶差分，
?yt = ?1 ?x1 t + ?2 ?xk t +…??k -1?xk-1 t + vt (6.43)
这种变换方法称作一阶差分法。所得模型 (6.43) 称作一阶差分模型。一阶差分法的优点是计算简便。
注意：
（1）一阶差分模型中不应该有常数项。
（2）当回归模型中有时间t做解释变量式时，一阶差分模型中应该含有原式中t的回归系数。例如原模型为
yt = ?0 + ?1 xt + ?2 t + vt。
一阶差分模型应该是
?yt = ?1 ?xt + ?2 + wt。
（3）这种方法只有在?近似等于1的情形下，才可以使用。 2 用DW统计量估计
由（6.17）式，得
= 1- (DW / 2) (6.44)
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