学科教师辅导教案 学员姓名 授课老师 年 级 课时数 高三 2h 辅导科目 数 学 第 次课 授课日期及时段 2017年 月 日 ： — ： 历年高考试题集锦——坐标系和参数方程 1.（2015年广东文）在平面直角坐标系x?y中，以原点?为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲2??x?t线C1的极坐标方程为??cos??sin????2，曲线C2的参数方程为?（t为参数），则C1与C2交??y?22t 点的直角坐标为 ?2,?4? ． 2.（2015年新课标2文）在直角坐标系xOy中,曲线C1:??x?tcos?, （t为参数,且t?0 ）,其中0????,y?tsin?,?在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:??2sin?,C3:??23cos?. （I）求C2与C3交点的直角坐标； （II）若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值. 22试题分析：（I）把C2与C3的方程化为直角坐标方程分别为x?y?2y?0,x?y?23x?0,联立解22 1 / 9
1?x?3?t?2?3.（2015年陕西文）在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为?，以原点为极(t为参数）?y?3t??2点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，eC的极坐标方程为??23sin?. (I)写出eC的直角坐标方程； (II)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标. 222试题解析：(I)由??23sin?，得??23?sin?，从而有x?y?23y所以x?y?32??2?3 2??13?1??3?t?，又C(0,3)，则PC??3?t???(II)设P?3?t,t?3??t2?12， 22?2??2???2故当t?0时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0). 4、（2015新课标1）在直角坐标系xOy 中，直线C1:x??2，圆C2:?x?1???y?2??1，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求C1,C2的极坐标方程. （II）若直线C3的极坐标方程为??22π???R?，设C2,C3的交点为M,N，求?C2MN 的面积. 4解：（I）因为x??cos?,y??sin?，所以C1的极坐标方程为?cos???2， C2的极坐标方程为?2?2?cos??4?sin??4?0. ……5分 （II）将???422代入??2?cos??4?sin??4?0，得??32??4?0，解得 ?1?22,?2?2.故?1??2?2，即MN?2由于C2的半径为1，所以?C2MN的面积为. 5、（2016年全国I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ. （I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a. ?x?acost2解：⑴ ? （t均为参数）∴x2??y?1??a2 ① ?y?1?asint12（t为参数，a＞0）.在以1?为圆心，a为半径的圆．方程为x2?y2?2y?1?a2?0 ∴C1为以?0，2 / 9
∵x2?y2??2，y??sin?∴?2?2?sin??1?a2?0 即为C1的极坐标方程 ⑵ C2：??4cos?两边同乘?得?2?4?cos?Q?2?x2?y2，?cos??x?x2?y2?4x 即?x?2??y2?4 ②C3：化为普通方程为y?2x由题意：C1和C2的公共方程所在直线即为C3 ①—②得：4x?2y?1?a2?0，即为C3∴1?a2?0∴a?1 6、（2016年全国II）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x?6)?y?25． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； 222?x?tcos?（Ⅱ）直线l的参数方程是?（t为参数）, l与C交于A,B两点，|AB|?10，求l的斜率． y?tsin??解：⑴整理圆的方程得x2?y2?12?11?0， ??2?x2?y2?由??cos??x可知圆C的极坐标方程为??sin??y??2?12?cos??11?0．⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为kx?y?0， ?10?距离公式知：， ?25???2??21?k???6k2 由垂径定理及点到直线51536k2902k?即，整理得，则． k???331?k24??x?3cos?(?为参数)，以坐标原点为7、（2016年全国III）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为???y?sin??极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?sin(??)?22 . 4（I）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （II）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标. 3 / 9
1?x?1?t?2???y?3t?28、(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为? （t为参数），椭圆C的参数?x?cos?,?y?2sin?方程为? （?为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长. 1?x?1?t2?yy22?22?1，将直线l的参数方程??1，得解：椭圆C的普通方程为x?，代入x?44?y?3t??21(1?t)2?2(32t)16162?1，即7t2?16t?0，解得t1?0，t2??.所以AB?|t1?t2|?. 4779．（2013江苏理）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为??x?t?1 （t为参数），曲线C的参数y?2t??x?2tan2?方程为? （?为参数），试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 ?y?2tan?【答案】直线l：2x?y?2?0；曲线C：y?2x；它们公共点的坐标为(2,2)，(,?1) 10．（2012福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知212?23π???x?2?2cos?,直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，?(θ为参数)． ?3,2??，圆C的参数方程为???y??3?2sin???①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； ②判断直线l与圆C的位置关系． 23)；又P为线段MN的中点，从而点P333x． 的平面直角坐标为(1，)；故直线OP的平面直角坐标方程为y?3323②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，)，所以直线l的平面直角坐标方程3为3x?3y?23?0；又圆C的圆心坐标为(2，?3)，半径r＝2，圆心到直线l的距离【简解】①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，|23?33?23|3??r；故直线l与圆C相交 23?911．（2014福建理）已知直线l的参数方程为?x?a?2t，（t为参数），圆C的参数方程为 ?d??y??4t?x?4cos?，（?为??y?4sin?参数）. 4 / 9
（I）求直线l和圆C的普通方程； （II）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围. 【简解】（I）直线l的普通方程为2x?y?2a?0.圆C的普通方程为x?y?16. （II）因为直线l与圆有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d?22?2a5?4,解得?25?a?25 ?x?2?tx2y2??1，直线l：?12. (2014新标1理)已知曲线C：（t为参数）. 49y?2?2t?(Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； （Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. 【简解】.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：?o?x?2cos? （?为参数）， 直线l的普通方程为：2x?y?6?0
y?3sin??54cos??3sin??6， 5（Ⅱ）在曲线C上任意取一点P (2cos?,3sin?)到l的距离为d?则|PA|?d25?5sin??????6sin3005，其中?为锐角．且tan??4. 3当sin???????1时，|PA|取得最大值，最大值为225； 5当sin??????1时，|PA|取得最小值，最小值为25. 5?x?2cost13.(2013新标2理) 已知动点P、Q都在曲线C：? (t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝y?2sint?2α(0<α<2π)，M为PQ的中点． (1)求M的轨迹的参数方程； (2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． 【简解】 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的轨迹的参数方程为{x＝cos α＋cos 2α，y＝sin α＋sin 2α， (α为参数，0<α<2π)． (2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点． 14、已知点A的极坐标为(2,?)，直线l的极坐标方程为?cos(??)?a，且点A在直线l上． 44?（1）求a的值及直线l的直角坐标方程； 5 / 9
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