9＋32
A. B．3＋3 C. D．23 32答案 B
解析 由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥D1－ACD和三棱锥B－A1B1C1后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为2的等边三角形， 13
所以其表面积为6××12＋2××(2)2＝3＋3.
24
(2)(2019·深圳调研)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．72 B．64 C．48 D．32 答案 B
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，
1
所以几何体的体积为V＝V柱－V锥＝4×4×5－×4×4×3＝64.
3热点三 多面体与球
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图． 例3 (1)已知正三棱锥S－ABC的顶点均在球O的球面上，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为23，则球O的表面积为( )
A．16π C．24π 答案 A
解析 设正三棱锥的底面边长为a，外接球的半径为R，BC的中点为D， 因为正三棱锥的底面为正三角形，边长为a， 则AD＝所以323a，AO＝AD＝a， 233
B．18π D．32π
3
a＝R，即a＝3R， 3
又因为三棱锥的体积为23，
1313所以×a2R＝××(3R)2×R＝23，
3434解得R＝2，所以球的表面积为S＝4πR2＝16π.
(2)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为( )
25πA. 41 125πC.
4答案 D
解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCD－A1B1C1D1中，
25πB. 161 125πD. 16
三棱锥B－KLJ即为所求的三棱锥， 其中KC1＝9，C1L＝LB1＝12，B1B＝16， ∴
KC1LB1＝， C1LB1B
则△KC1L∽△LB1B，∠KLB＝90°， 故可求得三棱锥各面面积分别为
S△BKL＝150，S△JKL＝150，S△JKB＝250，S△JLB＝250， 故表面积为S表＝800.
1
三棱锥体积V＝S△BKL·JK＝1 000，
33V15
设内切球半径为r，则r＝＝，
S表441 125π
故三棱锥内切球体积V球＝πr3＝.
316
跟踪演练3 (1)(2019·榆林模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知底面ABC为正三角形，AA1⊥平面ABC，AB＝63，AA1＝16，则该三棱柱外接球的表面积为( ) A．400π B．300π C．200π D．100π 答案 A
解析 如图，O′为底面中心，O为外接球球心，在正三角形ABC中求得
O′A＝6，
又OO′＝8，∴外接球半径OA＝10， ∴S球＝4π×100＝400π.
(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面S1积为S2，则等于( )
S21111A. B. C. D. 2348答案 C 解析 如图，
由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长， 1
则lR＝2πr2， 21
即·2π·r·R＝2πr2， 2解得R＝2r，
故∠ADC＝30°，则△DEF为等边三角形， 设B为△DEF的重心，过B作BC⊥DF，
则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径， 则
r内1BC1S11
＝，∴＝，故＝. BD2S24r外2
热点四 空间线面位置关系的判断 高考中判断空间线面位置关系的注意点：
(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：
①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断．
(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解． 例4 (1)(2019·淄博模拟)已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是( ) A．若l∥α，l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β C．若l∥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 答案 A
解析 对于A选项，显然正确．对于B选项，直线l可能在平面β内，故B选项是假命题．对于C选项，两个平面可能相交，故C选项是假命题．对于D选项，直线l可能在平面β内，故D选项是假命题．
(2)(2019·厦门模拟)在正三棱锥S－ABC中，AB＝23，SA＝25，E，F分别为AC，SB的中点，平面α过点A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，则异面直线l和EF所成角的余弦值为________． 答案
6
4
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