第5节 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，11
会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.
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知 识 梳 理
1.根式
(1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：(a)＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，a＝|a|
??a，a≥0，＝? ?－a，a<0.?
nnnnnnnn2.分数指数幂
m(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝a(a>0，m，n∈N，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是an＝－
nm*
m1(a>0，m，n∈N，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数
*
nam指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aa＝a；(a)＝a；(ab)＝ab，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 3.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，
xrsr+srsrsrrra是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0 图象 定义域 值域 R (0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 性质 当x<0时，0 1??x1.画指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，?－1，?. 当x>0时，0 2.在第一象限内，指数函数y＝a(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) 44 (1)（－4）＝－4.( ) 2 1 x(2)(－1)4＝(－1)2＝－1.( ) (3)函数y＝2(4)函数y＝ax－1 是指数函数.( ) (a>1)的值域是(0，＋∞).( ) x＋1 2 4444 解析 (1)由于（－4）＝4＝4，故(1)错. 44 (2)(－1)4＝（－4）＝1，故(2)错. (3)由于指数函数解析式为y＝a(a＞0，且a≠1)， 故y＝2 x－1 x2 不是指数函数，故(3)错. x＋12 (4)由于x＋1≥1，又a＞1，∴a故y＝a x＋12 2 ≥a. (a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2 ?1?x2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)＝a(a>0，且a≠1)的图象经过?2，?，则 ?3? f(－1)＝( ) A.1 B.2 C.3 D.3 132 解析 依题意可知a＝，解得a＝， 33所以f(x)＝?答案 C 3.(必修1P59A6改编)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为( ) A.y＝a(1＋p%)(0 解析 设年产量经过x年增加到y件，则第一年为y＝a(1＋p%)，第二年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)，第三年为y＝a(1＋p%)(1＋p%)(1＋p%)＝a(1＋p%)，…，则y＝a(1＋ 2 3 ?3??3? ?，所以f(－1)＝??＝3. ?3??3? x－1 xxp%)x(0≤x≤m且x∈N). 答案 B 4.(2018·晋中八校一模)设a>0，将a2a·a2 3 表示成分数指数幂，其结果是( ) 1573 A.a2 解析 由题意得 B.a6 C.a6 7 D.a2 a2 3 ＝a11 2－－23 ＝a6. a·a2 答案 C ?1?x5.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3－??，则f(x)( ) ?3? A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 3 xD.是奇函数，且在R上是减函数 解析 函数f(x)的定义域为R， ?1??1?f(－x)＝3－x－??＝??－3x＝－f(x)， ?3??3? ∴函数f(x)是奇函数. －xx?1?x又y＝3在R上是增函数，函数y＝??在R上是减函数， ?3??1?∴函数f(x)＝3－??在R上是增函数. ?3? xxx答案 B 6.(2019·福州检测)设a＝0.6，b＝0.6，c＝1.5，则a，b，c的大小关系是( ) A.a x0.6 1.5 0.6 B.a 1.5 0.6 0 0.6 解析 根据指数函数y＝0.6在R上单调递减可得0.6<0.6<0.6＝1，而c＝1.5>1，∴b 考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式： ?3??1?2－20.5 (1)?2?＋2·?2?－(0.01)； ?5??4? 3 0－ 1 (2)1111(a>0，b>0). 4－ （a4b2）a3b31?4??1?解 (1)原式＝1＋×??2－??2 4?9??100?1211116＝1＋×－＝1＋－＝. 431061015 1 1 ab32 ab2 4
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