2020版高考数学新设计大一轮复习-第5节指数与指数函数习题理(含解析)新人教A版

1

答案 3或 3

规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.

2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.

【训练3】 (1)(2019·河南八市测评)设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝a(a>1且a≠2)在区间(0，

x?1?0.2

＋∞)上具有不同的单调性，则M＝(a－1)与N＝??的大小关系是( )

?a?

A.M＝N

B.M≤N

C.M

D.M>N

0.1

(2)函数f(x)＝3x2?5x?4的单调递增区间为________，单调递减区间为________.

(3)已知函数f(x)＝b·a(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，

x?1??1?24).若不等式??＋??－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________.

?a?

?b?

解析 (1)因为f(x)＝x所以a>2.

2－axx与g(x)＝a(a>1，且a≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性.

x?1?0.2

因此M＝(a－1)>1，N＝??<1.

a??

故M>N.

0.1

(2)依题意知x－5x＋4≥0，解得x≥4或x≤1，令u＝x－5x＋4＝

22

?x－5?－9，

?2?4x∈(－??

2

∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x∈(－∞，1]时，u是减函数，当x∈[4，＋∞)时，u是增函数.而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f(x)＝3x2?5x?4在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数.

???6＝ab，?a＝2，

(3)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·a，得?结合a>0，且a≠1，解得?3

?24＝b·a，?b＝3，??

x 9

?1??1?x所以f(x)＝3·2.要使??＋??≥m在区间(－∞，1]上恒成立，

?2??3?

?1??1??1?只需保证函数y＝??＋??在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.因为函数y＝??＋?2??3??2??1?在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝?1?＋?1?有最小值5.所以只需m≤5

?3??2??3?66??????

5即可.所以m的最大值为.

6

5

答案 (1)D (2)[4，＋∞) (－∞，1] (3)

6

[思维升华]

1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较. 3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论. [易错防范]

1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.

2.对可化为a＋b·a＋c＝0或a＋b·a＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y＝2－2的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A.y＝sin x

B.y＝x

3

2xxxxxxxxxx2xxx－x 10

?1?C.y＝?? ?2?

x－xx D.y＝log2x

解析 y＝2－2是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.而y＝sin x不是单调递增函

?1?数，不符合题意；y＝??是非奇非偶函数，不符合题意； ?2?

y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；

y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数符合题意.

答案 B

1x2.函数y＝a－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

xa

1x解析 若a>1时，y＝a－在R上是增函数，

a1

当x＝0时，y＝1－∈(0，1)，A，B不满足.

a1x若0

a1

当x＝0时，y＝1－<0，C错，D项满足.

a答案 D

3.(2019·东北三校联考)函数f(x)＝a过点A的是( ) A.y＝1－x C.y＝2－1

xx－1

(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经

B.y＝|x－2| D.y＝log2(2x)

解析 f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝1－x的图象不过点A(1，1). 答案 A

4.设x>0，且1

xxx

B.0

解析 ∵x>0时，11.

11

又x>0时，b0时，??>1. ∴>1，∴a>b，∴1

|2x－4|

xx?a??b?

xab1

(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )

9

B.[2，＋∞) D.(－∞，－2]

|2x－4|

1111?1?2

解析 由f(1)＝，得a＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝??9933?3?由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减. 答案 B 二、填空题

2

－1

.

（a3·b）·a·b3

6.化简＝________.

6

1

－21－2

1

a·b5ab·ab解析 原式＝

15

11－32

11－23

a6b6

＝a111－－－32

1

·b26

15＋－31＝. 6

a1

答案

a?1??1?7.函数y＝??－??＋1在区间[－3，2]上的值域是________. ?4??2?

?1??1??1?32

解析 令t＝??，因为x∈[－3，2]，所以t∈?，8?，故y＝t－t＋1＝?t－?＋.当t?2??4??2?4

13?3?＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为?，57?.

24?4?

x2

xx?3?答案 ?，57?

?4?

8.设偶函数g(x)＝a|x+b|

在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________.

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