新定义问题
【专题点拨】
新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .
【解题策略】
具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决
【典例解析】
类型一：规律题型中的新定义
例题1：（2015?永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（ ）
A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1
C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x]（n为整数） 【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算 【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数， ∴当x是整数时，[x]=x，成立；
B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；
C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，
∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]， ∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，
D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立； 故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．
变式训练1：
（2015?山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )
A．(—2012,2) B．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)
类型二： 运算题型中的新定义
例题2：（2016·四川宜宾）规定：logab（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．
现有如下的运算法则：lognan=n．logNM=M＞0）．
例如：log223=3，log25=
，则log1001000=
．
（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，
【解析】实数的运算．先根据logNM=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，
M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．
【解答】解：log1001000=变式训练2：
==．故答案为：．
(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y????y(x?0)，则称点Q为点P的“可控变点”．
??y(x?0)例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y?x?3图象上点M的“可控变点”，则点M的坐标为 ；
2（2）若点P在函数y??x?16（?5?x?a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标
y′的取值范围是?16?y??16，则实数a的取值范围是 ．
类型三： 探索题型中的新定义
例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是
5-1（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄2金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作GH?AD，交AD的延长线于点H．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【解析】考点：黄金分割的识别
【解答】：由作图方法可知DF=5CF，所以CG=(5?1)CF，且GH=CD=2CF，从而得出黄金矩形
CG=(5?1)CF，GH=2CF ∴
CG(5?1)CF5?1 ∴矩形DCGH是黄金矩形。 ??GH2CF2变式训练3：（2014?山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可得到一个新序列S1，例如序列S0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S1：（2，2，1，2，2），若S0可以为任意序列，则下面的序列可作为S1的是（ ）
A．（1，2，1，2，2） B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3）D．（1，2，1，1，2）
类型四： 开放题型中的新定义
例题4：(2016山西省第19题)（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数子．
阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是ABC的中点， ∴MA=MC ．．．
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