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专题06 函数的图象
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高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查. （一）基础知识
1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2、做草图需要注意的信息点：
做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：
（1）一次函数：y?kx?b,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线. 特点：两点确定一条直线. 信息点：与坐标轴的交点.
（2）二次函数：y?a?x?h??k，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确. 特点：对称性
信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点. （3）反比例函数：y?21,其定义域为???,0?U?0,???，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对x称做出），坐标轴为函数的渐近线.
特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线. 信息点：渐近线 注：
（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x轴是渐近线，那么当x???，曲线无限向x轴接近，但不相交，则函数在x正半轴就不会有x轴下方的部分。
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（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x???（或??）时，f?x??常数C，则称直线y?C为函数f?x?的水平渐近线
例如：y?2 当x???时，y???，故在x轴正方向不存在渐近线 当x???时，y?0，故在x轴负方向存在渐近线y?0
（3）竖直渐近线的判定：首先f?x?在x?a处无定义，且当x?a时，f?x????（或??），那么称x?a为f?x?的竖直渐近线
例如：y?log2x在x?0处无定义，当x?0时，f?x????，所以x?0为y?log2x的一条渐近线. 综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线.
2、函数图象变换：设函数y?f?x?，其它参数均为正数 （1）平移变换：
xf?x?a?：f?x?的图象向左平移a个单位 f?x?a?：f?x?的图象向右平移a个单位 f?x??b：f?x?的图象向上平移a个单位 f?x??b：f?x?的图象向下平移a个单位
（2）对称变换：
f??x?：与f?x?的图象关于y轴对称 ?f?x?：与f?x?的图象关于x轴对称 ?f??x?：与f?x?的图象关于原点对称
（3）伸缩变换：
1?k?1：收缩 f?kx?：f?x?图象纵坐标不变，横坐标变为原来的?k?0?k?1：拉伸拉伸?k?1： kf?x?：f?x?图象横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍??0?k?1：收缩（4）翻折变换：
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??f?x?,x?0即正半轴的图象不变，负半轴的原图象不要，换上与正半轴图象关于y轴对称f?x?：f?x?????f??x?,x?0的图象
??f?x?,f?x??0即x轴上方的图象不变，下方的图象沿x轴对称的翻上去. f?x?：f?x????fx,fx?0??????（二） 方法与技巧：
1、在处理有关判断正确图象的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：
（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图象位于x轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于x轴下方的区域表示原函数的单调减区间
（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 （3）极值点
（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察
（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分.
2、利用图象变换作图的步骤：
（1）寻找到模板函数f?x?（以此函数作为基础进行图象变换） （2）找到所求函数与f?x?的联系
（3）根据联系制定变换策略，对图象进行变换. 3、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化 例如：y?f?x??y?f?2x?1?可有两种方案
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方案一：先平移（向左平移1个单位），此时f?x??f?x?1?。再放缩（横坐标变为原来的是添给x，即f?x?1??f?2x?1? 方案二：先放缩（横坐标变为原来的
1），此时系数2只21），此时f?x??f?2x?，再平移时，若平移a个单位，则211，可解得a?，故向左平移个单位 f?2x??f?2?x?a???f?2x?2a?（只对x加a）
22③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：y?f?x??y?2f?x??1有两种方案
方案一：先放缩：y?f?x??y?2f?x?，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即
y?2f?x??y??2f?x???1
方案二：先平移：y?f?x??y?f?x??1，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a倍，那么
y?f?x??1?y?a?f?x??1?，无论a取何值，也无法达到y?2f?x??1，所以需要对前一步进行调整：
平移
1个单位，再进行放缩即可（a?2） 24、变换作图的技巧：
（1）图象变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图象的精确性
（2）图象变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与y轴的交点等
【经典例题】
例1【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数y?f?(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是
【答案】D
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【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D． 例2【2017课标3】函数y?1?x?sinx的部分图像大致为（ ） 2x
A B
D．
C D 【答案】D
例3【2019届江西师范大学附属中学高三4月月考】函数y=x+cosx的大致图象是（ ）
A. 【答案】B
B. C. D.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x?0,x?0,x???,x???时函数图象的变化
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