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专题06 函数的图象
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高考对函数图象的考查,形式多样,命题形式主要有,由函数的性质及解析式选图;由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等,其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现.常常与导数结合考查. (一)基础知识
1、描点法作函数图象步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线. 2、做草图需要注意的信息点:
做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性,对于一个陌生的可导函数,可通过对导函数的符号分析得到单调区间,图象形状依赖于函数的凹凸性,可由二阶导数的符号决定(详见“知识点讲解与分析”的第3点),这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形结合,让图象更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来,下面以常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点:
(1)一次函数:y?kx?b,若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线. 特点:两点确定一条直线. 信息点:与坐标轴的交点.
(2)二次函数:y?a?x?h??k,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一侧的图象,另一侧由对称性可得.函数先减再增,存在极值点——顶点,若与坐标轴相交,则标出交点坐标可使图象更为精确. 特点:对称性
信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点. (3)反比例函数:y?21,其定义域为???,0?U?0,???,是奇函数,只需做出正版轴图象即可(负半轴依靠对x称做出),坐标轴为函数的渐近线.
特点:奇函数(图象关于原点中心对称),渐近线. 信息点:渐近线 注:
(1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制,例如在反比例函数中,x轴是渐近线,那么当x???,曲线无限向x轴接近,但不相交,则函数在x正半轴就不会有x轴下方的部分。
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(2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若x???(或??)时,f?x??常数C,则称直线y?C为函数f?x?的水平渐近线
例如:y?2 当x???时,y???,故在x轴正方向不存在渐近线 当x???时,y?0,故在x轴负方向存在渐近线y?0
(3)竖直渐近线的判定:首先f?x?在x?a处无定义,且当x?a时,f?x????(或??),那么称x?a为f?x?的竖直渐近线
例如:y?log2x在x?0处无定义,当x?0时,f?x????,所以x?0为y?log2x的一条渐近线. 综上所述:在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中:与坐标轴的交点;对称轴与对称中心;极值点;渐近线.
2、函数图象变换:设函数y?f?x?,其它参数均为正数 (1)平移变换:
xf?x?a?:f?x?的图象向左平移a个单位 f?x?a?:f?x?的图象向右平移a个单位 f?x??b:f?x?的图象向上平移a个单位 f?x??b:f?x?的图象向下平移a个单位
(2)对称变换:
f??x?:与f?x?的图象关于y轴对称 ?f?x?:与f?x?的图象关于x轴对称 ?f??x?:与f?x?的图象关于原点对称
(3)伸缩变换:
1?k?1:收缩 f?kx?:f?x?图象纵坐标不变,横坐标变为原来的?k?0?k?1:拉伸拉伸?k?1: kf?x?:f?x?图象横坐标不变,纵坐标变为原来的k倍??0?k?1:收缩(4)翻折变换:
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??f?x?,x?0即正半轴的图象不变,负半轴的原图象不要,换上与正半轴图象关于y轴对称f?x?:f?x?????f??x?,x?0的图象
??f?x?,f?x??0即x轴上方的图象不变,下方的图象沿x轴对称的翻上去. f?x?:f?x????fx,fx?0??????(二) 方法与技巧:
1、在处理有关判断正确图象的选择题中,常用的方法是排除法,通过寻找四个选项的不同,再结合函数的性质即可进行排除,常见的区分要素如下:
(1)单调性:导函数的符号决定原函数的单调性,导函数图象位于x轴上方的区域表示原函数的单调增区间,位于x轴下方的区域表示原函数的单调减区间
(2)函数零点周围的函数值符号:可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 (3)极值点
(4)对称性(奇偶性)——易于判断,进而优先观察
(5)函数的凹凸性:导函数的单调性决定原函数的凹凸性,导函数增区间即为函数的下凸部分,减区间为函数的上凸部分.
2、利用图象变换作图的步骤:
(1)寻找到模板函数f?x?(以此函数作为基础进行图象变换) (2)找到所求函数与f?x?的联系
(3)根据联系制定变换策略,对图象进行变换. 3、如何制定图象变换的策略
(1)在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤,其规律如下: ① 若变换发生在“括号”内部,则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部,则属于纵坐标的变换
(2)多个步骤的顺序问题:在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后,在安排顺序时注意以下原则:
① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响,无先后要求 ② 横坐标的多次变换中,每次变换只有x发生相应变化 例如:y?f?x??y?f?2x?1?可有两种方案
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方案一:先平移(向左平移1个单位),此时f?x??f?x?1?。再放缩(横坐标变为原来的是添给x,即f?x?1??f?2x?1? 方案二:先放缩(横坐标变为原来的
1),此时系数2只21),此时f?x??f?2x?,再平移时,若平移a个单位,则211,可解得a?,故向左平移个单位 f?2x??f?2?x?a???f?2x?2a?(只对x加a)
22③ 纵坐标的多次变换中,每次变换将解析式看做一个整体进行 例如:y?f?x??y?2f?x??1有两种方案
方案一:先放缩:y?f?x??y?2f?x?,再平移时,将解析式看做一个整体,整体加1,即
y?2f?x??y??2f?x???1
方案二:先平移:y?f?x??y?f?x??1,则再放缩时,若纵坐标变为原来的a倍,那么
y?f?x??1?y?a?f?x??1?,无论a取何值,也无法达到y?2f?x??1,所以需要对前一步进行调整:
平移
1个单位,再进行放缩即可(a?2) 24、变换作图的技巧:
(1)图象变换时可抓住对称轴,零点,渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置,有助于提高图象的精确性
(2)图象变换后要将一些关键点标出:如边界点,新的零点与极值点,与y轴的交点等
【经典例题】
例1【2017浙江,7】函数y=f(x)的导函数y?f?(x)的图像如图所示,则函数y=f(x)的图像可能是
【答案】D
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【解析】原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于0,因此选D. 例2【2017课标3】函数y?1?x?sinx的部分图像大致为( ) 2x
A B
D.
C D 【答案】D
例3【2019届江西师范大学附属中学高三4月月考】函数y=x+cosx的大致图象是( )
A. 【答案】B
B. C. D.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x?0,x?0,x???,x???时函数图象的变化
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